【題目】將直角邊長(zhǎng)為的等腰直角放在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)、分別在軸,軸的正半軸上,一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、及點(diǎn)

求該拋物線的解析式;

若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的平行線交于點(diǎn),連接,當(dāng)的面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

若點(diǎn)在拋物線上,則稱點(diǎn)為拋物線的不動(dòng)點(diǎn),將中的拋物線進(jìn)行平移,平移后,該拋物線只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),且頂點(diǎn)在直線上,求此時(shí)拋物線的解析式.

【答案】; ;

【解析】

1)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),所以設(shè)拋物線方程為兩點(diǎn)式y=ax+3)(x6),然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入該函數(shù)解析式即可求得系數(shù)a的值;

2)利用相似三角形的性質(zhì)得出SPCE=,進(jìn)而求出△APE的面積S即可得出點(diǎn)P坐標(biāo);

3)利用拋物線上不動(dòng)點(diǎn)的定義以及不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出方程hk=,再用平移后的拋物線的頂點(diǎn)在直線y=2x,得出方程k=2h,聯(lián)立解方程組即可

1B(﹣3,0),C6,0),設(shè)拋物線為y=ax+3)(x6).

∵拋物線過(guò)A0,6),6=a0+3)(06),解得a=﹣,y=﹣x+3)(x6),y=﹣x2+x+6;

2)設(shè)Pm,0,如圖,∵PEAB,∴△PCE∽△BCA,SPCE=,S=SAPCSPCE==﹣m2+m+6=﹣m2+∴當(dāng)m=時(shí),S有最大值為,P,0);

3)設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為Ghk),∴拋物線解析式為y=﹣xh2+k由拋物線的不動(dòng)點(diǎn)的定義,t=﹣th2+kt2+32ht+h23k=0

∵平移后拋物線只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),∴此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴△=(32h24h23k)=0,hk=

∵頂點(diǎn)在直線y=2xk=2h,∴聯(lián)立①②得h=1,k=,∴拋物線的解析式為y=﹣x12+=﹣x2+x

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