【題目】如圖,⊙O為△ABC的外接圓,D為OC與AB的交點(diǎn),E為線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠EAC=∠ABC.
(1)求證:直線AE是⊙O的切線.
(2)若D為AB的中點(diǎn),CD=6,AB=16
①求⊙O的半徑;
②求△ABC的內(nèi)心到點(diǎn)O的距離.
【答案】(1)詳見解析;(2)①;②5.
【解析】
(1)連接AO,并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF,由圓周角定理可得∠ACF=90°,可得∠F+∠FAC=90°,由∠EAC=∠ABC,可得∠EAC+∠FAC=90°,即可得結(jié)論;
(2)①由垂徑定理可得OD⊥AB,AD=BD=8,由勾股定理可求⊙O的半徑;
②作∠CAB的平分線交CD于點(diǎn)H,連接BH,過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AC,HN⊥BC,由角平分線的性質(zhì)可得HM=HN=HD,由三角形的面積公式可求HD的值,即可求△ABC的內(nèi)心到點(diǎn)O的距離.
解:(1)證明:連接AO,并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF
∵AF是直徑
∴∠ACF=90°
∴∠F+∠FAC=90°,
∵∠F=∠ABC,∠ABC=∠EAC
∴∠EAC=∠F
∴∠EAC+∠FAC=90°
∴∠EAF=90°,且AO是半徑
∴直線AE是⊙O的切線.
(2)①如圖,連接AO,
∵D為AB的中點(diǎn),OD過(guò)圓心,
∴OD⊥AB,AD=BD=AB=8,
∵AO2=AD2+DO2,
∴AO2=82+(AO﹣6)2,
∴AO=,
∴⊙O的半徑為;
②如圖,作∠CAB的平分線交CD于點(diǎn)H,連接BH,過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AC,HN⊥BC,
∵OD⊥AB,AD=BD
∴AC=BC,且AD=BD
∴CD平分∠ACB,且AH平分∠CAB
∴點(diǎn)H是△ABC的內(nèi)心,且HM⊥AC,HN⊥BC,HD⊥AB
∴MH=NH=DH
在Rt△ACD中,AC=,
∵S△ABC=S△ACH+S△ABH+S△BCH,
∴×16×6=×10×MH+×16×DH+×10×NH,
∴DH=,
∵OH=CO﹣CH=CO﹣(CD﹣DH),
∴OH=﹣(6﹣)=5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),與x軸另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上找一點(diǎn)E,使△EDC的周長(zhǎng)最小,求符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出PB2的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,是的中線,是上一動(dòng)點(diǎn),將沿折疊,點(diǎn)落在點(diǎn)處,與線段交于點(diǎn),若是直角三角形,則_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】向陽(yáng)中學(xué)為了解全校學(xué)生利用課外時(shí)間閱讀的情況,調(diào)查者隨機(jī)抽取若干名學(xué)生,調(diào)查他們一周的課外閱讀時(shí)間,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)表(圖).根據(jù)圖表信息,解答下列問(wèn)題:
頻率分布表
閱讀時(shí)間(小時(shí)) | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
1≤x<2 | 9 | 0.15 |
2≤x<3 | a | m |
3≤x<4 | 18 | 0.3 |
4≤x<5 | 12 | n |
5≤x<6 | 6 | 0.1 |
合計(jì) | b | 1 |
(1)填空:a= ,b= ,m= ,n= ;
(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(3)閱讀時(shí)間不低于5小時(shí)的6人中,有2名男生、4名女生.現(xiàn)從這6名學(xué)生中選取兩名同學(xué)進(jìn)行讀書宣講,求選取的兩名學(xué)生恰好是兩名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過(guò)點(diǎn)(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=1,下列結(jié)論:①2a+b=0;②9a+c>3b;③若點(diǎn)A(﹣3,y1)、點(diǎn)B(﹣,y2)、點(diǎn)C(,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2:④若方程ax2+bx+c=﹣3(a≠0)的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<3<x2;⑤m(am+b)﹣b<a.其中正確的結(jié)論有( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年3月,我市某中學(xué)舉行了“愛(ài)我中國(guó)朗誦比賽”活動(dòng),根據(jù)學(xué)生的成績(jī)劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)參加朗誦比賽的學(xué)生共有 人,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m= ,n= ;C等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形有圓心角為 度;
(3)學(xué)校欲從獲A等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,參加市舉辦的朗誦比賽,請(qǐng)利用列表法或樹形圖法,求獲A等級(jí)的小明參加市朗誦比賽的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在的正方形方格中,和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)填空: , ;
(2)判斷與是否相似,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“精準(zhǔn)扶貧”這是新時(shí)期黨和國(guó)家扶貧工作的精髓和亮點(diǎn).某校團(tuán)委隨機(jī)抽取部分學(xué)生,對(duì)他們是否了解關(guān)于“精準(zhǔn)扶貧”的情況進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果有三種:A、了解很多;B、了解一點(diǎn);C、不了解.團(tuán)委根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制了尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖如下,圖1中C區(qū)域的圓心角為36°,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的相關(guān)的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)求本次活動(dòng)共調(diào)查了 名學(xué)生;圖1中,B區(qū)域的圓心角度是 ;在抽取的學(xué)生中調(diào)查結(jié)果的中位數(shù)落在 區(qū)域里.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)若該校有1200名學(xué)生,請(qǐng)估算該校不是了解很多的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們規(guī)定,以二次函數(shù)y=ax2+bx+c的二次項(xiàng)系數(shù)a的2倍為一次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)b為常數(shù)項(xiàng)構(gòu)造的一次函數(shù)y=2ax+b叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)”,反過(guò)來(lái),二次函數(shù)y=ax2+bx+c叫做一次函數(shù)y=2ax+b的“母函數(shù)”.
(1)若一次函數(shù)y=2x-4是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)”,且二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0),求此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)若“子函數(shù)”y=x-6的“母函數(shù)”的最小值為1,求“母函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式.
(3)已知二次函數(shù)y=-x2-4x+8的“子函數(shù)”圖象直線l與x軸、y軸交于C、D兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P為二次函數(shù)y=-x2-4x+8對(duì)稱軸右側(cè)上的動(dòng)點(diǎn),求△PCD的面積的最大值.
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