Question

【題目】如圖，AB＝4，C為射線BA上一動點，以BC為邊向上作正三角形BCD，⊙O過A、C、D三點，E為⊙O上一點，滿足AD＝ED，直線CE交直線AD于F．

（1）求證：CE∥BD；

（2）設CF=a，若C在線段AB上運動．

①求點E運動的路徑長；

②求a的范圍；

（3）若AC＝1，求 tan∠DEC．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①4；②0≤a≤1；（3）或；

【解析】

（1）連接AE，證△ADE為等邊三角形即可得到∠ECD=∠CDB=60°，則有CE∥BD.

(2) ①首先分析E點的運動軌跡是在于AB平行且距離為2的直線上，再進行計算；

②設CB的長為x(0<x<4),通過證明，得到用含x的式子表示a,從而求出a的取值范圍.

(3)分兩種情況討論：點C在線段AB上和在A點的左邊兩種情況分別進行計算求解.

解：（1）連接AE

∵三角形BCD是等邊三角形，

∴∠B=∠BCD=∠BDC=60°.

∵四邊形ACDE是圓O的內接四邊形，

∴∠AED+∠ACD=180°.

又∵∠ACD+∠BCD=180°，

∴∠AED=∠BCD=60°.

∵AD=AE，

∴三角形ADE是等邊三角形.

∴∠EAD=60°，

∴∠EAD=∠ECD=∠CDB=60°.

∴CE∥BD;

(2) ①∵∠EDA=∠CDB=60°，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，即∠EDC=∠ADB.

又∵ED=AD,CD=DB,

∴.

∴EC=AB=4.

過點E作EG⊥AB于點G，在直角三角形CFE中，∠ECA=60°，∴EG=EC=2

∴點E的運動軌跡為于AB平行且距離為2的直線上.

所以點C在A時，得到點E1, 點C在B時，得到點E2,∴四邊形E1ACE2是平行四邊形,

所以E1E2=AB=4.

∴E的運動路徑長為4.

②設CB的長為x(0<x<4),則AC=4-x,BD=CB=x.

∵CE∥BD，

∴

∴=,∴=.

∴a=-+x=-(x-2)2+1.

當x=2時，a有最大值為1；

當x=0時，a有最小值0.

∴0≤a≤1.

(3)當C在AB之間時，過點D作DH⊥AB與點H，則AC=1,BC=BD=3.

∴BH=BC=，DH=BD=.

∴AH=AB-BH=.

∴tan∠DEC=tan∠DAH==.

當C在A的左邊時，同理可以求得tan∠DEC=tan∠DAH=.

∴tan∠DEC的值為或；