Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作CEBD，且CE＝BD．

（1）求證：四邊形OCED是矩形；

（2）連接AE交CD于點(diǎn)G，若AE⊥CD．

①求sin∠CAG的值；

②若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接DP，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段DP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間t．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）① ；②

【解析】

（1）首先證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)∠COD＝90°推出是矩形．

（2）①由DE∥AC，DE＝OC＝OA，推出，設(shè)DG＝m，則CG＝2m，DC＝AD＝3m，求出AC即可解決問(wèn)題．

②過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AC于T．由sin∠PAT＝，推出PT＝PA，由點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝＝PD+PT，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D，P，T共線，且DT⊥AC時(shí)，PD+PT的值最小，最小值＝線段OD的長(zhǎng)．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

∵EC＝BD，

∴EC＝OD，

∵EC∥OD，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

∵∠COD＝90°，

∴四邊形OCED是矩形．

（2）解：①∵四邊形OCED是矩形，

∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，

∴，設(shè)DG＝m，則CG＝2m，DC＝AD＝3m，

∵AE⊥CD，

∴∠AGD＝∠AGC＝90°，

∴AG＝，

∴AC＝，

∴sin∠CAG＝．

②過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AC于T．

∵sin∠PAT＝，

∴PT＝PA，

∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝＝PD+PT，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D，P，T共線，且DT⊥AC時(shí)，PD+PT的值最小，最小值＝線段OD的長(zhǎng)，

由（2）可知3m＝6，

m＝2，

∴AC＝，OA＝，

∵∠AOD＝90°，

∴OD＝，

∵DE∥OA，

∴，

∴OP＝PD＝，此時(shí)AP＝，

∴滿足條件的PA的值為，點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間t＝（s）．