【題目】RtABC中,ABAC,D點為RtABC外一點,且BDCD,DF為∠BDA的平分線,當(dāng)∠ACD15°,下列結(jié)論:①∠ADC45°;②ADAF;③AD+AFBD;④BCCE2D,其中正確的是( )

A.①③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】C

【解析】

由題意可證點A,點C,點B,點D四點共圓,可得∠ADC=∠ABC45°;由角平分線的性質(zhì)和外角性質(zhì)可得∠AFD=∠BDF+DBF>∠ADF,可得AD≠AF;如圖,延長CDG,使DEDG,在BD上截取DHAD,連接HF,由“SAS”可證△ADF≌△HDF,可得∠DHF=∠DAF30°,AFHF,由等腰三角形的性質(zhì)可得BHAF,可證BDBH+DHAF+AD;由“SAS”可證△BDG≌△BDE,可得∠BGD=∠BED75°,由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得BCBG2DE+EC.

ABAC,∠BAC90°

∴∠ABC=∠ACB45°,且∠ACD15°

∵∠BCD30°,

∵∠BAC=∠BDC90°,

∴點A,點C,點B,點D四點共圓,

∴∠ADC=∠ABC45°,故①符合題意,

ACD=∠ABD15°,∠DAB=∠DCB30°,

DF為∠BDA的平分線,

∴∠ADF=∠BDF,

∵∠AFD=∠BDF+DBF>∠ADF,

AD≠AF,故②不合題意,

如圖,延長CDG,使DEDG,在BD上截取DHAD,連接HF,

DHAD,∠HDF=∠ADF,DFDF

∴△ADF≌△HDF(SAS)

∴∠DHF=∠DAF30°,AFHF

∵∠DHF=∠HBF+HFB30°,

∴∠HBF=∠BFH15°,

BHHF

BHAF,

BDBH+DHAF+AD,故③符合題意,

∵∠ADC45°,∠DAB30°=∠BCD

∴∠BED=∠ADC+DAB75°,

GDDE,∠BDG=∠BDE90°,BDBD,

∴△BDG≌△BDE(SAS)

∴∠BGD=∠BED75°,

∴∠GBC180°﹣∠BCD﹣∠BGD75°

∴∠GBC=∠BGC75°,

BCBG

BCBG2DE+EC,

BCEC2DE,故④符合題意,

故選:C.

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