Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，點P（0，k）是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作⊙P．
（1）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關系，并說明理由；
（2）當k為何值時，⊙P與直線l相切；
（3）當k為何值時，以⊙P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？

Answer 1

分析：（1）通過一次函數可求出A、B兩點的坐標及線段的長，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得當PB=PA時k的值，再與圓的半徑相比較，即可得出⊙P與x軸的位置關系．
（2）過P點作PQ⊥AB，垂足為Q，根據△ABP的面積公式，利用面積法表示PQ，當⊙P與直線l相切時，PQ=3，列方程求k即可．注意分兩種情況討論求解；
（3）根據正三角形的性質，分兩種情況討論，
①當圓心P在線段OB上時，②當圓心P在線段OB的延長線上時，從而求得k的值．

解答：解：（1）⊙P與x軸相切，
∵直線y=-2x-8與x軸交于A（-4，0），與y軸交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由題意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半徑．
∴⊙P與x軸相切．
由y=-2x-8得A（-4，0），B（0，-8），
由勾股定理，得PA=

16+k2

，
∵PB=k+8，由PA=PB，得

16+k2

=k+8，
解得k=-3，
∴⊙P與x軸相切；

（2）過P點作PQ⊥AB，垂足為Q，由PQ×AB=PB×OA，
PQ=

(k+8)×4

42+82

，
P在線段OB上，當⊙P與直線l相切時，PQ=3，即

(k+8)×4

42+82

=3，
解得k=3

5

-8．
P在線段OB的延長線上，k=-8-（3

5

-8+8）=-3

5

-8，⊙P與直線l相切

（3）設⊙P與直線l交于C，D兩點，連接PC，PD，
當圓心P₁在線段OB上時，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD為正三角形，
∴DE=

1

2

CD=

3

2

，P₁D=3．
∴P₁E=

3 3

2

．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴

AO

AB

=

P1E

P1B

，即

4

4 5

=

3 3 2

P1B

，
∴P₁B=

3 15

2

，（2分）
∴P₁O=BO-BP₁=8-

3 15

2

．
∴P₁（0，

3 15

2

-8）．
∴k=

3 15

2

-8．（2分）
當圓心P₂在線段OB延長線上時，
∵P₂B=

3 15

2

，
∴P₂O=BO+BP₂=

3 15

2

+8．
∴P₂（0，-

3 15

2

-8）．
∴k=-

3 15

2

-8．（2分）
∴當k=

3 15

2

-8或k=-

3 15

2

-8時，以⊙P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形．

點評：本題考查了一次函數圖象，圓的切線的判定，相似三角形的判定及性質，等邊三角形等內容，范圍較廣，題目較復雜．關鍵是由已知直線求A、B兩點坐標，根據P點的坐標，由線段相等，面積法分別列方程求解．