【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線:和直線:,點(diǎn)和均在直線上.
(1)求直線的解析式;
(2)若拋物線過(guò)點(diǎn),且拋物線與線段有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍;
(3)將直線下移2個(gè)單位得到直線,直線與拋物線:交于、兩點(diǎn),若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,當(dāng),時(shí),求的取值范圍.
【答案】(1)y=2x+2;(2)-<a≤-2或a≥4;(3)或
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線表達(dá)式求解即可;
(2)將點(diǎn)E坐標(biāo)代入,求出拋物線表達(dá)式,將一次直線解析式和二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程,求出使得這個(gè)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值范圍,然后再根據(jù)拋物線y=ax2-x+1(a≠0)與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),利用分類討論的方法即可求得a的取值范圍,本題得以解決;
(3)根據(jù)題意得出l1的表達(dá)式,聯(lián)立拋物線和直線表達(dá)式,得,根據(jù)求出2a+1=,再分0<x1<2,-2<x1<0兩種情況,分別解不等式求出b的取值范圍即可.
解:(1)∵點(diǎn)和均在直線上,代入得
,
解得:,
∴直線l的解析式為:y=2x+2;
(2)∵拋物線過(guò)點(diǎn),代入拋物線表達(dá)式,
得:a+b+1=a,解得b=-1,
∴拋物線表達(dá)式為y=ax2-x+1,
∵拋物線與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
令2x+2=ax2-x+1,
則ax2-3x-1=0,
若直線y=2x+2與拋物線y=ax2-x+1(a≠0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
則△=(-3)2-4a×(-1)>0,
解得,a>-,
∵拋物線y=ax2-x+1(a≠0)與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),點(diǎn)A(,1)和B(1,4),
∴當(dāng)-<a<0時(shí),,
解得,-<a≤-2,
當(dāng)a>0時(shí),,
解得,a≥4;
由上可得,a的取值范圍是-<a≤-2或a≥4;
(3)由平移可知直線l1的表達(dá)式為:y=2x,
聯(lián)立直線和拋物線得:,化簡(jiǎn)得:,
可知x1x2=,x1x2同號(hào),
若0<x1<2,則x2- x1=2,
∴x2=x1+2>2,4a+2b-3<0,①
又∵===4,
∴2a+1=,代入①得:
②,
解得:;
若-2<x1<0,則x2=-2+x1<-2,
∴4a-2b+5<0,③
將2a+1=代入③,得
<2b-3,④
解得:;
綜上:或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校八、九兩個(gè)年級(jí)各有學(xué)生180人,為了解這兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)健康情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,具體過(guò)程如下:
收集數(shù)據(jù)
從八、九兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試,測(cè)試成績(jī)(百分制)如下:
八年級(jí) | 78 | 86 | 74 | 81 | 75 | 76 | 87 | 70 | 75 | 90 |
75 | 79 | 81 | 70 | 74 | 80 | 86 | 69 | 83 | 77 | |
九年級(jí) | 93 | 73 | 88 | 81 | 72 | 81 | 94 | 83 | 77 | 83 |
80 | 81 | 70 | 81 | 73 | 78 | 82 | 80 | 70 | 40 |
整理、描述數(shù)據(jù)
將成績(jī)按如下分段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績(jī)(x) | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
八年級(jí)人數(shù) | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
九年級(jí)人數(shù) | 1 | 0 | 0 | 7 | 10 | 2 |
(說(shuō)明:成績(jī)80分及以上為體質(zhì)健康優(yōu)秀,70~79分為體質(zhì)健康良好,60~69分為體質(zhì)健康合格,60分以下為體質(zhì)健康不合格)
分析數(shù)據(jù)
兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表所示:
年級(jí) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
八年級(jí) | 78.3 | 77.5 | 75 | 33.6 |
九年級(jí) | 78 | 80.5 | a | 52.1 |
(1)表格中a的值為______;
(2)請(qǐng)你估計(jì)該校九年級(jí)體質(zhì)健康優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為多少?
(3)根據(jù)以上信息,你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)健康情況更好一些?請(qǐng)說(shuō)明理由.(請(qǐng)從兩個(gè)不同的角度說(shuō)明推斷的合理性)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x+4經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P.
①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí),以AP,AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
②如圖2,過(guò)點(diǎn)O,P的直線y=kx交AC于點(diǎn)E,若PE:OE=3:8,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交函數(shù)的圖象于點(diǎn),連接,若的面積為12,則的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中雅培粹學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì),全校有3000名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì),為了解各類運(yùn)動(dòng)賽事的分布情況,從中抽取了部分同學(xué)進(jìn)行統(tǒng)計(jì):A.田徑類,B.球類,C.團(tuán)體類,D.其他,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)這次統(tǒng)計(jì)共抽取了 位同學(xué),扇形統(tǒng)計(jì)圖中的 ,的度數(shù)是 ;
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)估計(jì)全校共多少學(xué)生參加了球類運(yùn)動(dòng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)小組在郊外的水平空地上對(duì)無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)驗(yàn).如圖,兩臺(tái)測(cè)角儀分別放在A、B位置,且離地面高均為1米(即米),兩臺(tái)測(cè)角儀相距50米(即AB=50米).在某一時(shí)刻無(wú)人機(jī)位于點(diǎn)C (點(diǎn)C與點(diǎn)A、B在同一平面內(nèi)),A處測(cè)得其仰角為,B處測(cè)得其仰角為.(參考數(shù)據(jù):,,,,)
(1)求該時(shí)刻無(wú)人機(jī)的離地高度;(單位:米,結(jié)果保留整數(shù))
(2)無(wú)人機(jī)沿水平方向向左飛行2秒后到達(dá)點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)A、B、C在同一平面內(nèi)),此時(shí)于A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為,求無(wú)人機(jī)水平飛行的平均速度.(單位:米/秒,結(jié)果保留整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與軸交于點(diǎn),拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),過(guò)點(diǎn)作垂直軸交直線于點(diǎn).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)
①求點(diǎn)的坐標(biāo);
②將拋物線向右平移使它經(jīng)過(guò)點(diǎn),此時(shí)得到的拋物線記為,求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AP、BP分別平分∠CAB、∠CBA,過(guò)點(diǎn)P作DE∥AB交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.求證:①點(diǎn)P是線段DE的中點(diǎn);②求證:BP2=BE·BA;
(2)如圖2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,BP平分∠ABC,過(guò)點(diǎn)P作DE∥AB交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P為線段DE的中點(diǎn),求AD的長(zhǎng)度.
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