Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在半徑OB延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠A=30°．
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若OC⊥AB，AC=4，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的判定證得△OBC是等邊三角形，則∠OCB=60°，所以由圖中相關(guān)角與角間的和差關(guān)系易求∠OCD=90°，即直線CD與⊙O相切；
（2）如圖，由垂徑定理、結(jié)合（1）中的等邊△OBC的性質(zhì)推知AC=BC=OC=4，則通過解直角△OCD即可求得線段CD的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）直線CD與⊙O相切．理由如下：
如圖，∵∠A=30°，
∴∠CAB=2∠A=60°．
又∵OC=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠OCB=60°．
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，即OC⊥CD．
又∵OC是半徑，
∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切；

（2）如圖，∵OC⊥AB，
∴AC=BC=4．
∵由（1）知，△OBC是等邊三角形，
∴OC=BC=4．
又由（1）知，∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴CD=OC•tan60°=4×=4，即線段CD的長(zhǎng)度是4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．