Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動點(diǎn)；

①連接BC、CD，設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1， △BCE的面積為S2， 求的最大值；

②過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）①當(dāng)a=2時， 的最大值是②﹣2或﹣

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c，于是得到結(jié)論；（2）①如圖，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，求得P（﹣，0），得到PA=PC=PB=，過作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延線于G，情況一：如圖，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情況二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）解：根據(jù)題意得A（﹣4，0），C（0，2），

∵拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+2

（2）解：①如圖，

令y=0，

∴﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x1=﹣4，x2=1，

∴B（1，0），

過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，

∴DM∥BN，

∴△DME∽△BNE，

∴ = = ，

設(shè)D（a，=﹣ a2﹣ a+2），

∴M（a， a+2），

∵B（1.0），

∴N（1， ），

∴ = = （a+2）2+ ；

∴當(dāng)a=2時， 的最大值是 ；

②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），

∴AC=2 ，BC= ，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2 ，

∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，

∴P（﹣ ，0），

∴PA=PC=PB= ，

∴∠CPO=2∠BAC，

∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）= ，

過作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，

情況一：如圖，

∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，

∴∠CDG=∠BAC，

∴tan∠CDG=tan∠BAC= ，

即 ，

令D（a，﹣ a2﹣ a+2），

∴DR=﹣a，RC=﹣ a2﹣ a，

∴ ，

∴a1=0（舍去），a2=﹣2，

∴xD=﹣2，

情況二，∴∠FDC=2∠BAC，

∴tan∠FDC= ，

設(shè)FC=4k，

∴DF=3k，DC=5k，

∵tan∠DGC= = ，

∴FG=6k，

∴CG=2k，DG=3 k，∴

∴RC= k，RG= k，

DR=3 k﹣ k= k，

∴ = = ，

∴a1=0（舍去），a2= ，

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2或﹣ ．