Question

【題目】經(jīng)過點(diǎn)A（4，1）的直線與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A、C，AB⊥y軸，垂足為B，連接BC．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若△ABC的面積為6，求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P在雙曲線位于第一象限的圖象上，若∠PAC＝90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　 　．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝（2）直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1；（3）（，8）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式中，即可得出結(jié)論；
（2）先求出AB，設(shè)出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，利用△ABC的面積為6，求出點(diǎn)C縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)表達(dá)式中，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；
（3）先求出直線AP的解析式，再和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立求解即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)A（4，1）在反比例函數(shù)y＝ 的圖象上，

∴k＝4×1＝4，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝；

（2）設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為m，

∵AB⊥y軸，A（4，1），

∴AB＝4，

∵△ABC的面積為6，

∴AB×（1﹣m）＝6，

∴m＝﹣2，

由（1）知，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為：﹣2，

∴點(diǎn)C（﹣2，﹣2），

設(shè)直線AC的解析式為y＝k'x+b，

將點(diǎn)A（4，1），C（﹣2，﹣2）代入y＝k'x+b中， ，

∴ ，

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1；

（3）由（2）知直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1，

∵∠PAC＝90°，

∴AC⊥AP，

∴設(shè)直線AP的解析式為y＝﹣2x+b'，

將A（4，1）代入y＝﹣2x+b'中，﹣8+b'＝1，

∴b'＝9，

∴直線AP的解析式為y＝﹣2x+9①，

由（1）知，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝②，

聯(lián)立①②解得， （舍）或 ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，8），

故答案為：（，8）．