【題目】如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,拋物線經(jīng)過原點,且與軸相交于點,點的橫坐標為6,拋物線頂點為點.
(1)求這條拋物線的表達式和頂點的坐標;
(2)過點作,在直線上點取一點,使得,求點的坐標;
(3)將該拋物線向左平移個單位,所得新拋物線與軸負半軸相交于點且頂點仍然在第四象限,此時點移動到點的位置,,求的值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)將點O,點A坐標代入解析式可求拋物線的表達式和頂點B的坐標;
(2)由點A,點B坐標可求直線AB解析式,即可求直線OP解析式為:y=x,設(shè)點Q(3k,4k),可證四邊形OQAP為等腰梯形,可得OB=QA,由兩點距離公式可求k的值,即可求點Q坐標;
(3)過點B分別做作x、y軸垂線,垂足分別為點E、F,由題意可證△BCF∽△BDE,可得,可得,可得,可得關(guān)于m的方程,即可求m的值.
(1)∵點、在拋物線上
∴,解得
∴拋物線的解析式為,
∴頂點B的坐標是;
(2)如圖,
∵,
∴直線AB解析式為:y=x-8,
∵
∴直線OP解析式為:y=x,
設(shè)點,
∵∠OBA=∠QAB>∠OAB,
∴k>0
∵OP平于AB,QA不平行于OB
∴四邊形OQAB為梯形
又∵∠QAB=∠OBA
∴四邊形OQAB為等腰梯形
∴QA=OB
∴(6-3k)2+(4k)2=25
∴或(舍去)
∴
(3)由(1)知
設(shè)拋物線向左平移個單位后的新拋物線表達式為
∵新拋物線與y軸負半軸相交于點C且頂點仍然在第四象限,設(shè)點C的坐標為C(0,c)
∴0<m<3,-4<c<0,
如圖,過點B分別做作x、y軸垂線,垂足分別為點E、F
∴且
∴∽
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴或者(舍去)
∴
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【題目】如圖①,在中,為邊上一點,過點作交于點,連接,為的中點,連接.
(觀察猜想)
(1)①的數(shù)量關(guān)系是___________
②的數(shù)量關(guān)系是______________
(類比探究)
(2)將圖①中繞點逆時針旋轉(zhuǎn),如圖②所示,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(拓展遷移)
(3)將繞點旋轉(zhuǎn)任意角度,若,請直接寫出點在同一直線上時的長.
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【題目】已知,二次函數(shù)的圖象,如圖所示,解決下列問題:
(1)關(guān)于的一元二次方程的解為;
(2)求出拋物線的解析式;
(3)為何值時.
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【題目】如圖,在一次數(shù)學課外活動中,小明同學在點P處測得教學樓A位于北偏東60°方向,辦公樓B位于南偏東45°方向.小明沿正東方向前進60米到達C處,此時測得教學樓A恰好位于正北方向,辦公樓B正好位于正南方向.求教學樓A與辦公樓B之間的距離(結(jié)果精確到0.1米).
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【題目】已知反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相交于點A(2,6),和點B(4,m).
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出不等式≤ax+b的解集和△AOB的面積.
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【題目】如圖,在中,,,,矩形的頂點在邊上,,兩點分別在邊,上,且.將矩形以每秒1個單位長度的速度沿射線方向勻速運動,當點與點重合時停止運動,設(shè)運動時間為秒,矩形與重疊部分的面積為,則反映與的函數(shù)關(guān)系的圖象為( )
A.B.C.D.
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【題目】2020年初,新冠肺炎肆虐全球.我國政府和人民采取了積極有效的防疫措施,疫情在我國得到了有效控制.小明為復學到藥店購買口罩和一次性醫(yī)用口罩.已知購買個口罩和個一次性醫(yī)用口罩共需元;購買個口罩和個一次性醫(yī)用罩共需元.
(1)求口罩與一次性醫(yī)用口罩的單價;
(2)小明準備購買口罩和一次性醫(yī)用口罩共個,且口罩的數(shù)量不少于一次性醫(yī)用口罩數(shù)量的.請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】如圖1,點A是線段BC上一點,△ABD,△AEC都是等邊三角形,BE交AD于點M,CD交AE于N.
(1)求證:BE=DC;
(2)求證:△AMN是等邊三角形;
(3)將△ACE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,其它條件不變,在圖2中補出符合要求的圖形,并判斷(1)、(2)兩小題結(jié)論是否仍然成立,并加以證明.
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