Question

【題目】如圖，在等邊中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿勻速運(yùn)動(dòng)(與、不重合)．動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以同樣的速度沿的延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)(不與重合)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為以 ()．過(guò)作于，連接交 于.

（1） ， ；（用含 的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形；

（3）點(diǎn)沿的延長(zhǎng)線的方向平移到 ，且．是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)在的平分線上？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，，理由見(jiàn)解析；（4）

【解析】

（1）P、Q速度都為1cm/s，由速度乘時(shí)間可得到運(yùn)動(dòng)路程均為tcm，PC的長(zhǎng)度為等邊三角形邊長(zhǎng)減去t，QC的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)加上t，即可得到答案；

（2）當(dāng)△CPQ為直角三角形時(shí)，∠Q=30°，利用直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半建立方程求解；

（3）連接交于，由角平分線和平行，易得，利用直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得，然后建立關(guān)于t的方程求解；

（4）過(guò)點(diǎn)作，交直線的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先利用AAS證明≌，得到，，然后易得≌，推出，最后由線段等量代換可得，即可得出ED始終為等邊三角形邊長(zhǎng)的一半.

解：（1）∵P、Q速度都為1cm/s，

∴BQ=AP=tcm

∴PC=AC-AP=，QC=BC+BQ=

故答案為：，；

（2）∵當(dāng)△CPQ為直角三角形時(shí)，∠Q=30°

∴，即，解得

所以當(dāng)=2，為直角三角形；

（3）存在.

理由：如圖，連接交于

∵在等邊三角形ABC中，CF是∠ACB的角平分線，

∴，

∵

∴

∴

在Rt△AEP中，∠APE=30°，

∴AE=AP=

∵EM=AM-AE

∴

即

解得

所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的平分線上.

（4）當(dāng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度不會(huì)改變，理由如下：

過(guò)點(diǎn)作，交直線的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

又∵于

∴

∵點(diǎn)、速度相同

∴

∵是等邊三角形，

∴

在和中

∵，，

∴≌（）

∴，

在和中

∵∠PDE=∠QDH，∠PED=∠QHD，PE=QH

∴≌（）

∴，即

∵

∴

又∵等邊的邊長(zhǎng)為6

∴

所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，．