【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是邊AB上一動點(A、B兩點除外),將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CEF,其中點E是點A的對應(yīng)點,點F是點D的對應(yīng)點.

(1)如圖1,當(dāng)α=90°時,G是邊AB上一點,且BG=AD,連接GF.求證:GF∥AC;

(2)如圖2,當(dāng)90°≤α≤180°時,AE與DF相交于點M.

①當(dāng)點M與點C、D不重合時,連接CM,求∠CMD的度數(shù);

②設(shè)D為邊AB的中點,當(dāng)α從90°變化到180°時,求點M運動的路徑長.

【答案】(1)證明見解析;(2)135°;

【解析】

試題分析:(1)欲證明GF∥AC,只要證明∠A=∠FGB即可解決問題.

(2)①先證明A、D、M、C四點共圓,得到∠CMF=∠CAD=45°,即可解決問題.

②利用①的結(jié)論可知,點M在以AC為直徑的⊙O上,運動路徑是弧CD,利用弧長公式即可解決問題.

試題解析:(1)如圖1中,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD旋轉(zhuǎn)逆時針α得到,α=90°,∴CB與CE重合,∴∠CBE=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.

(2)①如圖2中,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠CDF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A、D、M、C四點共圓,∴∠CMF=∠CAD=45°,∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°.

②如圖3中,O是AC中點,連接OD、CM.

∵AD=DB,CA=CB,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,由①可知A、D、M、C四點共圓,∴當(dāng)α從90°變化到180°時,點M在以AC為直徑的⊙O上,運動路徑是弧CD,∵OA=OC,CD=DA,∴DO⊥AC,∴∠DOC=90°,∴的長==,當(dāng)α從90°變化到180°時,點M運動的路徑長為

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(環(huán))

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8.6

8.6

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