【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣3,0),B(l,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且滿足S△PAO=2S△PCO,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接BC,點(diǎn)E是x軸一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),若以B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)點(diǎn)P(,﹣2)或(﹣,2)或(﹣2+,﹣4+2)或(﹣2﹣,﹣4﹣2);(3)點(diǎn)F坐標(biāo)(﹣2,3)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3)
【解析】
(1)由待定系數(shù)法可求解析式;
(2)求出點(diǎn)C坐標(biāo),可得OA=OC=3,由面積關(guān)系列出方程可求解;
(3)分兩種情況討論,利用平行四邊形的性質(zhì)可求解.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣3,0),B(l,0)兩點(diǎn),
∴,
解得:,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3與y軸交于點(diǎn)C,
∴點(diǎn)C(0,3)
∴OA=OC=3,
設(shè)點(diǎn)P(x,﹣x2﹣2x+3)
∵S△PAO=2S△PCO,
∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=2××3×|x|,
∴x=±或x=﹣2±,
∴點(diǎn)P(,﹣2)或(﹣,2)或(﹣2+,﹣4+2)或(﹣2﹣,﹣4﹣2);
(3)若BC為邊,且四邊形BCFE是平行四邊形,
∴CF∥BE,
∴點(diǎn)F與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相等,
∴3=﹣x2﹣2x+3,
∴x1=﹣2,x2=0,
∴點(diǎn)F(﹣2,3)
若BC為邊,且四邊形BCEF是平行四邊形,
∴BE與CF互相平分,
∵BE中點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,且點(diǎn)C縱坐標(biāo)為3,
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為﹣3,
∴﹣3=﹣x2﹣2x+3
∴x=﹣1±,
∴點(diǎn)F(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3);
若BC為對(duì)角線,則四邊形BECF是平行四邊形,
∴BC與EF互相平分,
∵BC中點(diǎn)縱坐標(biāo)為,且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0,
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3,
∴點(diǎn)F(﹣2,3),
綜上所述,點(diǎn)F坐標(biāo)(﹣2,3)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐
問題情境
在綜合與實(shí)踐課上,同學(xué)們以“三角形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).
操作發(fā)現(xiàn)
“楊輝”小組的同學(xué)用一張鈍角三角形紙片,為鈍角,進(jìn)行了如下操作:
第一步:如圖1,折出的角平分線;
第二步:如圖2,展平紙片,再次折疊該三角形紙片,使預(yù)點(diǎn)與點(diǎn)重合,拆痕分別與,交于點(diǎn),;
第三步:如圖3,再次展平紙片,連接,,可得四邊形.
(1)在圖4的中利用尺規(guī)作出折痕,;
(要求:保留作圖痕跡,不寫作法)
實(shí)踐探究
(2)試判斷圖3中四邊形的形狀,并寫出證明過程;
深入探究
(3)“陳景潤(rùn)”小組的同學(xué)突發(fā)奇想,在“楊輝”小組同學(xué)操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題:在圖3中,連接,分別交于點(diǎn),交于點(diǎn),若,,利用相似三角形的知識(shí)可以求出的長(zhǎng).請(qǐng)你寫出求解過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算:①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),F(n)=3n+1;②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),F(n)=(其中k是使F(n)為奇數(shù)的正整數(shù))……,兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行,例如,取n=24,則:
若n=24,則第2019次“F”運(yùn)算的結(jié)果是( )
A.4B.1C.2018D.42018
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,為半圓的直徑,將沿射線方向平移得到△A1B1C1.當(dāng)與半圓相切于點(diǎn)時(shí),平移的距離的長(zhǎng)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),連接AP,將△ABP沿著AP折疊.點(diǎn)B落到M處,連接BM、CM,若△BMC為等腰三角形,則BP的長(zhǎng)度為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為落實(shí)疫情期間的垃圾分類,樹立全面環(huán)保意識(shí),某校舉行了“垃圾分類,綠色環(huán)!敝R(shí)競(jìng)賽活動(dòng),根據(jù)學(xué)生的成績(jī)劃分為,,,四個(gè)等級(jí),并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生共有______人,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,______,______,等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為______度;
(3)小明是四名獲等級(jí)的學(xué)生中的一位,學(xué)校將從獲等級(jí)的學(xué)生中任選取2人,參加市舉辦的知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖,求小明被選中參加區(qū)知識(shí)競(jìng)賽的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,cos∠ABC=,sin∠ACB=,AC=2,分別以AB,AC為邊向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE,連接EF,點(diǎn)M是EF的中點(diǎn),連接AM,則△AEF的面積為_____,AM的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】快遞公司為提高快遞分揀的速度,決定購(gòu)買機(jī)器人來代替人工分揀,兩種型號(hào)的機(jī)器人的工作效率和價(jià)格如表:
型號(hào) | 甲 | 乙 |
每臺(tái)每小時(shí)分揀快遞件數(shù)(件) | 1000 | 800 |
每臺(tái)價(jià)格(萬元) | 5 | 3 |
該公司計(jì)劃購(gòu)買這兩種型號(hào)的機(jī)器人共10臺(tái),并且使這10臺(tái)機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞件數(shù)總和不少于8500件
(1)設(shè)購(gòu)買甲種型號(hào)的機(jī)器人x臺(tái),購(gòu)買這10臺(tái)機(jī)器人所花的費(fèi)用為y萬元,求y與x之間的關(guān)系式;
(2)購(gòu)買幾臺(tái)甲種型號(hào)的機(jī)器人,能使購(gòu)買這10臺(tái)機(jī)器人所花總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌電腦銷售公司有營(yíng)銷員14人,銷售部為制定營(yíng)銷人員月銷售電腦定額,統(tǒng)計(jì)了這14人某月的銷售量如下(單位:臺(tái)):
銷售量 | 200 | 170 | 130 | 80 | 50 | 40 |
人數(shù) | 1 | 1 | 2 | 5 | 3 | 2 |
(1)該公司營(yíng)銷員銷售該品牌電腦的月銷售平均數(shù)是 臺(tái),中位數(shù)是 臺(tái),眾數(shù)是 臺(tái).
(2)銷售部經(jīng)理把每位營(yíng)銷員月銷售量定為90臺(tái),你認(rèn)為是否合理?說明理由.
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