【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知Rt△AOB的兩直角邊OA,OB分別在x軸,y軸的正半軸上(OA<OB),且OA,OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個(gè)根,線段AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)C,分別交x軸,y軸于點(diǎn)D,E.

(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo):A , B
(2)求線段AD的長;
(3)已知P是直線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是以5為邊長的正方形?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】
(1)(6,0);(0,8)
(2)

解:在Rt△AOB中,∵∠AOB=90°,OA=6,OB=8,

∴AB= =10,

∵線段AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)C,

∴AC= AB=5.

在△ACD與△AOB中,

∵∠CAD=∠OAB,∠ACD=∠AOB=90°,

∴△ACD∽△AOB,

= ,即 = ,

解得AD= ,

∵A(6,0),點(diǎn)D在x軸上,

∴D(﹣ ,0).

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,

由題意知C為AB中點(diǎn),

∴C(3,4),

∵D(﹣ ,0),

,解得 ,

∴直線CD的解析式為y= x+ ;


(3)

解:在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M,使以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,且該正方形的邊長為5,

∵AC=BC= AB=5,

∴以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的正方形的邊長為5,且點(diǎn)Q與點(diǎn)B或點(diǎn)A重合.分兩種情況:

① 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),易求BM的解析式為y= x+8,設(shè)M(x, x+8),

∵B(0,8),BM=5,

∴( x+8﹣8)2+x2=52,

化簡整理,得x2=16,

解得x=±4,

∴M2(4,11),M3(﹣4,5);

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí),易求AM的解析式為y= x﹣ ,

設(shè)M(x, x﹣ ),

∵A(6,0),AM=5,

∴( x﹣ 2+(x﹣6)2=52

化簡整理,得x2﹣12x+20=0,

解得x1=2,x2=10,

∴M4(2,﹣3),M1(10,3);

綜上所述,所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1(10,3),M2(4,11),M3(﹣4,5),M4(2,﹣3).


【解析】解:(1)解方程x2﹣14x+48=0,
得x1=6,x2=8,
∵OA<OB,
∴A(6,0),B(0,8);
所以答案是(6,0),(0,8).
【考點(diǎn)精析】掌握相似三角形的判定是解答本題的根本,需要知道相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似; 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS).

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A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④

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A.2
B.2
C.4
D.4

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