Question

【題目】如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為△BAC的外角平分線，F為弧AD上一點(diǎn)，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．

（1）求證：AD=BD；

（2）若AC=10，AF=3，DF：FE=3：2，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5．

【解析】

（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可求得∠DBA＝∠DAB，從而證明AD＝BD；

（2）由條件可證得△AEF∽△DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可求得DE的長.

（1）證明：∵CD平分∠ACM，∴∠ACD=∠MCD，

∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠MCD=∠BAD，

又∠ACD=∠ABD，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD；

（2）解：∵BD=AD，BC=AF，∴=， =，

∴=，∴CD=DF，∵BC=AF，∴∠BDC=∠ADF，∴∠CDA=∠BDF=∠EAF，

由（1）可知∠DCA=∠DBA，且∠EFA=∠DBA，

∴∠DCA=∠EFA，∴△AEF∽△DAC，∴=，

∴=， =，∴EFDF=30，∵DF：FE=3：2，

∴設(shè)DF=3x，則FE=2x，∴6x2=30，解得x=，

∴DE=DF+FE=5x=5．