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【題目】如圖1,在等邊ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接BE,CD,點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點.

(1)觀察猜想:圖1中,PMN的形狀是   ; 

(2)探究證明:把ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置,PMN的形狀是否發(fā)生改變?并說明理由; 

(3)拓展延伸:把ADE繞點A在平面內自由旋轉,若AD=1,AB=3,請直接寫出PMN的周長的最大值.

【答案】(1) 等邊三角形;(2)PMN的形狀不發(fā)生改變,仍然為等邊三角形,理由見解析;(3)6

【解析】分析:1)如圖1,先根據等邊三角形的性質得到AB=ACABC=ACB=60°,BD=CE再根據三角形中位線性質得PMCE,PM=CE,PNAD,PN=BD,從而得到PM=PN,MPN=60°,從而可判斷△PMN為等邊三角形;

2)連接CEBD,如圖2,先利用旋轉的定義,把△ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到△CAE,BD=CE,ABD=ACE,與(1)一樣可得PM=PN,BPM=BCE,CPN=CBD,則計算出∠BPM+∠CPN=120°,從而得到∠MPN=60°,于是可判斷△PMN為等邊三角形.

3)利用ABADBDAB+AD(當且僅當點B、AD共線時取等號)得到BD的最大值為4,PN的最大值為2然后可確定△PMN的周長的最大值.

詳解:(1)如圖1

∵△ABC為等邊三角形,AB=AC,ABC=ACB=60°.

AD=AE,BD=CE

∵點M、NP分別是BE、CDBC的中點,

PMCEPM=CE,PNADPN=BD,

PM=PNBPM=BCA=60°,CPN=CBA=60°,

∴∠MPN=60°,∴△PMN為等邊三角形;

故答案為:等邊三角形

2PMN的形狀不發(fā)生改變,仍然為等邊三角形.理由如下

連接CE、BD如圖2

AB=AC,AE=AD,BAC=DAE=60°,

∴把△ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到△CAE

BD=CE,ABD=ACE,

與(1)一樣可得PMCE,PM=CE,PNAD,PN=BD,

PM=PN,BPM=BCECPN=CBD,

∴∠BPM+∠CPN=CBD+∠CBD=ABCABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN為等邊三角形.

3PN=BD,∴當BD的值最大時,PN的值最大.

ABADBDAB+AD(當且僅當點B、A、D共線時取等號)

BD的最大值為1+3=4,PN的最大值為2∴△PMN的周長的最大值為6

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