Question

【題目】如圖，AB為☉O的直徑，CD與☉O相切于點E，交AB的延長線于點D，連接BE，過點O作OC∥BE，交☉O于點F，交切線于點C，連接AC.

（1）求證：AC是☉O的切線；

（2）連接EF，當∠D= °時，四邊形FOBE是菱形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）30.

【解析】

（1）利用切線的性質(zhì)得∠CEO=90°，再證明△OCA≌△OCE得到∠CAO=∠CEO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）利用四邊形FOBE是菱形得到OF=OB=BF=EF，則可判定△OBE為等邊三角形，所以∠BOE=60°，然后利用互余可確定∠D的度數(shù)．

（1）證明：∵CD與⊙O相切于點E，

∴OE⊥CD，

∴∠CEO=90°，

又∵OC∥BE，

∴∠COE=∠OEB，∠OBE=∠COA

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠COE=∠COA，

又∵OC=OC，OA=OE，

∴△OCA≌△OCE（SAS），

∴∠CAO=∠CEO=90°，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴AC為⊙O的切線；

（2）∵四邊形FOBE是菱形，

∴OF=OB=BF=EF，

∴OE=OB=BE，

∴△OBE為等邊三角形，

∴∠BOE=60°，

而OE⊥CD，

∴∠D=30°．