Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果方程的兩個實數根為x1 ， x2 ， 且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，

解得m≤4；

（2）

解：根據題意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，

而2x1x2+x1+x2≥20，

所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，

而m≤4，

所以m的范圍為3≤m≤4

【解析】（1）根據判別式的意義得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的結論可確定滿足條件的m的取值范圍．本題考查了根與系數的關系：若x1 ， x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了根與系數的關系．
【考點精析】通過靈活運用求根公式和根與系數的關系，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商即可以解答此題．