Question

【題目】如圖，已知拋物線 與 軸、 軸分別相交于點(diǎn)A（－1，0）和B（0，3），其頂點(diǎn)為D．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若拋物線與 軸的另一個交點(diǎn)為E，求△ODE的面積；拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P使得△PAB的周長最短．若存在請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意得
，解得
∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3；
（2）解：當(dāng)y=0時，-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，則E（3，0）；
y=-（x-1）2+4，則D（1，4），
∴S△ODE= ×3×4=6；
連接BE交直線x=1于點(diǎn)P，如圖，則PA=PE， ∴PA+PB=PE+PB=BE， 此時PA+PB的值最小， 易得直線BE的解析式為 y=-x+3．， 當(dāng)x=1時，y=-x+3=3， ∴P（1，2）．
【解析】（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，建立方程組，求解即可求出結(jié)果。
（2）先由y=0，解方程求出拋物線與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，，再求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求出△ODE的面積；連接BE交直線x=1于點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后求出直線BE的解析式，易求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。