Question

（2012•南平）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由題設(shè)條件，請(qǐng)寫出三個(gè)正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過(guò)程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）
答：結(jié)論一：

AB=AC

；
結(jié)論二：

∠AED=∠ADC

；
結(jié)論三：

△ADE∽△ACD

．
（2）若∠B=45°，BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長(zhǎng)．
（注意：在第（2）的求解過(guò)程中，若有運(yùn)用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）

Answer 1

分析：（1）由∠B=∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD；
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB為等腰直角三角形，則AC=

2

2

BC=

2

2

×2=

2

，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，則有AD：AC=AE：AD，即AD²=AE•AC，
AE=

AD2

AC

=

AD2

2

=

2

2

•AD²，當(dāng)AD⊥BC，AD最小，且AD=

1

2

BC=1，此時(shí)AE最小為

2

2

，利用CE=AC-AE得到CE的最大值；
②討論：當(dāng)AD=AE時(shí)，則∠1=∠AED=45°，得到∠DAE=90°，則點(diǎn)D與B重合，不合題意舍去；當(dāng)EA=ED時(shí)，如圖1，則∠EAD=∠1=45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，則BD=1；
當(dāng)DA=DE時(shí)，如圖2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD為等腰三角形，則DC=CA=

2

，于是有BD=BC-DC=2-

2

．

解答：解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

BC=

2

2

×2=

2

，
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC=AE：AD，即AD²=AE•AC，
∴AE=

AD2

AC

=

AD2

2

=

2

2

•AD²，
當(dāng)AD最小時(shí)，AE最小，此時(shí)AD⊥BC，AD=

1

2

BC=1，
∴AE的最小值為

2

2

×1²=

2

2

，
∴CE的最大值=

2

-

2

2

=

2

2

；
②當(dāng)AD=AE時(shí)，
∴∠1=∠AED=45°，
∴∠DAE=90°，
∴點(diǎn)D與B重合，不合題意舍去；
當(dāng)EA=ED時(shí)，如圖1，
∴∠EAD=∠1=45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD=1；
當(dāng)DA=DE時(shí)，如圖2，
∵△ADE∽△ACD，
∴DA：AC=DE：DC，
∴DC=CA=

2

，
∴BD=BC-DC=2-

2

，
∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為1或2-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題：運(yùn)用相似比進(jìn)行線段的計(jì)算；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)；學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．