Question

【題目】閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)了二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3＋2 ＝(1＋)2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均為正整數(shù))，則有a＋b＝m2＋2n2＋2mn.

∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把部分形如a＋b的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝__________，b＝__________；

(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：________＋________＝(________＋________)2；

(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．

Answer 1

【答案】(1)m2＋3n2，2mn；(2) 4，2，1，1（答案不唯一）；(3) 13

【解析】（1）根據(jù)完全平方公式運算法則，即可得出a、b的表達(dá)式；

（2）首先確定好m、n的正整數(shù)值，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出a、b的值；

（3）根據(jù)題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值．

解：（1）∵a+b=，

∴a+b=m2+3n2+2mn，

∴a=m2+3n2，b=2mn．

故答案為：m2+3n2，2mn．

（2）設(shè)m=1，n=1，

∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．

故答案為4、2、1、1．

（3）由題意，得：

a=m2+3n2，b=2mn

∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．

“點睛”本題主要考查二次根式的混合運算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于熟練運算完全平方公式和二次根式的運算法則．