Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）當BD是⊙O的直徑時（如圖2），求∠CAD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，如圖所示：

∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，

∴∠ABC=∠CAD，

∵AE為⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠EAD=90°﹣∠AED，

∵∠AED=∠ABD，

∴∠AED=∠ABC=∠CAD，

∴∠EAD=90°﹣∠CAD，

即∠EAD+∠CAD=90°，

∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，

∴∠ABC+∠ADB=90°，

∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，

∴4∠ABC=90°，

∴∠ABC=22.5°，

由（1）知：∠ABC=∠CAD，

∴∠CAD=22.5°．

【解析】（1）連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，由已知條件得出∠ABC=∠CAD，由圓周角定理得出∠ADE=90°，證出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出結(jié)論；（2）由圓周角定理得出∠BAD=90°，由角的關(guān)系和已知條件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出結(jié)果．