Question

【題目】在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC內(nèi)部或BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），以D為頂點(diǎn)作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度數(shù)；
（2）若兩三角形重疊部分的形狀始終是四邊形AGDH．
①如圖1，連接GH、AD，當(dāng)GH⊥AD時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形AGDH的形狀，并證明；
②當(dāng)四邊形AGDH的面積最大時(shí)，過(guò)A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB2+AC2=100=BC2，

∴∠BAC=90°，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠D=∠BAC=90°

（2）

解：①四邊形AGDH為正方形，

理由：如圖1，

延長(zhǎng)ED交BC于M，延長(zhǎng)FD交BC于N，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠B=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠E=∠EMC，

∴∠B=∠EMC，

∴AB∥DE，

同理：DF∥AC，

∴四邊形AGDH為平行四邊形，

∵∠D=90°，

∴四邊形AGDH為矩形，

∵GH⊥AD，

∴四邊形AGDH為正方形；

②當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，四邊形AGDH的面積不可能最大，

理由：如圖2，

點(diǎn)D在內(nèi)部時(shí)（N在△ABC內(nèi)部或BC邊上），延長(zhǎng)GD至N，過(guò)N作NM⊥AC于M，

∴矩形GNMA面積大于矩形AGDH，

∴點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，四邊形AGDH的面積不可能最大，

只有點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，面積才有可能最大，

如圖3，

點(diǎn)D在BC上，

∵DG∥AC，

∴△BGD∽△BAC，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴AH=8﹣ GA，

S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8﹣ AG）=﹣ AG2+8AG，

當(dāng)AG=﹣ =3時(shí)，S矩形AGDH最大，此時(shí)，DG=AH=4，

即：當(dāng)AG=3，AH=4時(shí)，S矩形AGDH最大，

在Rt△BGD中，BD=5，

∴DC=BC﹣BD=5，

即：點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∵AD= BC=5，

∴PA=AD=5，

延長(zhǎng)PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，

∴QP⊥BC，

∴PQ是EF，BC之間的距離，

∴D是EF的距離為PQ的長(zhǎng)，

在△ABC中， AB×AC= BC×AQ

∴AQ=4.8

∵△DEF∽△ABC，

∴k=

【解析】（1）先判斷△ABC是直角三角形，即可；（2）①先判斷AB∥DE，DF∥AC，得到平行四邊形，再判斷出是正方形；
②先判斷面積最大時(shí)點(diǎn)D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8﹣ GA，得到S矩形AGDH=﹣ AG2+8AG，確定極值，AG=3時(shí)，面積最大，最后求k得值．此題是相似三角形的綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形，矩形，正方形的判定和性質(zhì)，極值的確定，勾股定理的逆定理，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，
【考點(diǎn)精析】利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．