【題目】已知:△ABC是等腰三角形,動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角邊作等腰三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問題:

(1)如圖①,若點(diǎn)P在線段AB上,且AC=1+,PA=,則:

①線段PB= ,PC= ;

②猜想:PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ;

(2)如圖②,若點(diǎn)P在AB的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立,請(qǐng)你利用圖②給出證明過程;

(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿足,求的值.(提示:請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求)

【答案】1,2;(2)證明見試題解析;(3

【解析】

試題

(1)①由已知條件求出AB的長,再減去PA就可得PB的長;如圖1,連接BQ,先證△APC≌△BQC,可得BQ=AP=,∠CBQ=∠A=45°,由此可得△PBQ是直角三角形即可計(jì)算出PQ=,從而根據(jù)△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2;

中的證明可知:AP=BQ,△PBQ是直角三角形,由此即可得到:PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2;

(2)如圖2,連接PB,先證△APC≌△BQC,得到BQ=AP,∠CBQ=∠A=45°,由此可得△PBQ是直角三角形,從而可得:PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2,(1)中所猜想結(jié)論仍然成立;

(3)如圖3,分點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間和在點(diǎn)A、B的同側(cè)兩種情況討論即可;

試題解析

1)如圖①

①∵△ABC是等腰直直角三角形,AC=1+,∠ACB=90°,

∴AB=,

∵PA=,

∴PB=AB-PA=.

∵△ABC△PCQ均為以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

∴AC=BC,PC=CQ,∠ACP=∠BCQ,

∴△APC≌△BQC.

∴BQ=AP=,∠CBQ=∠A=45°.

∴△PBQ為直角三角形.

∴PQ=

∴PC=PQ=2.

故答案為:,2;

如圖1,猜想PA2+PB2=PQ2,理由如下:

中證明可知:△APC≌△BQC,

∴BQ=AP,∠CBQ=∠A=45°

∵∠CBA=45°,

∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°,

∴BQ2+PB2=PQ2,

∴PA2+PB2=PQ2.

(2)如圖:連接BQ,

∵△ABC△PCQ均為以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

∴AC=BC,PC=CQ,∠ACP=∠BCQ,

∴△APC≌△BQC.

∴BQ=AP,∠CBQ=∠A=45°.

又∵∠ABC=45°,

∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°,

∴∠PBQ=90°,

Rt△PBQ中,BQ2+PB2=PQ2

∴PA2+PB2=PQ2.

(3)如圖:過點(diǎn)CCD⊥AB,垂足為D.由△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC可得:AD=BD=CD=AB;設(shè)AB=,AD=BD=CD=

①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A、D之間的點(diǎn)P1處時(shí).

,

∴P1A=AB=DC=

∴P1D=AD=,

Rt△CP1D中,由勾股定理得:CP1=,

Rt△ACD中,由勾股定理得:AC= ,

;

當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A和點(diǎn)B的同側(cè)的點(diǎn)P2處時(shí).

,

∴P2A=AB=AD=

∴P2D=P2A+AD=

Rt△CP2D中,由勾股定理得:P2C=,

Rt△ACD中,由勾股定理得:AC=,

;

綜上所述,的比值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,BD是△ABC的角平分線,DEBC,交AB于點(diǎn)E,∠A=50°,∠BDC=75°.求∠BED的度數(shù).

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1)直接寫出長方形的長和寬;

2)求ma,b的值;

3)當(dāng)P點(diǎn)在AD邊上時(shí),直接寫出St的函數(shù)解析式.

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【題目】在某市實(shí)施城中村改造的過程中,旺鑫拆遷工程隊(duì)承包了一項(xiàng)10000 m2的拆遷工程.由于準(zhǔn)備工作充分,實(shí)際拆遷效率比原計(jì)劃提高了25%,提前2天完成了任務(wù),請(qǐng)解答下列問題:

(1)旺鑫拆遷工程隊(duì)現(xiàn)在平均每天拆遷多少平方米;

(2)為了盡量減少拆遷給市民帶來的不便,在拆遷工作進(jìn)行了2天后,旺鑫拆遷工程隊(duì)的領(lǐng)導(dǎo)決定加快拆遷工作,將余下的拆遷任務(wù)在5天內(nèi)完成,那么旺鑫拆遷工程隊(duì)平均每天至少再多拆遷多少平方米?

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A.40°B.35°C.60°D.70°

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【題目】李克強(qiáng)總理說:一個(gè)國家養(yǎng)成全民閱讀習(xí)慣非常重要我希望全民閱讀能夠形成一種氛圍,無處不在.為了響應(yīng)國家的號(hào)召,某希望學(xué)校的全體師生掀起了閱讀的熱潮.下面是該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖與學(xué)生在4月份閱讀課外書籍人次的統(tǒng)計(jì)圖表,其中七年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為240人.請(qǐng)解答下列問題:

圖書種類

頻數(shù)

頻率

科普書籍

A

B

文學(xué)

1200

C

漫畫叢書

D

0.35

其他

200

0.05

(1)該校七年級(jí)學(xué)生人數(shù)所在扇形的圓心角為______°,該校的學(xué)生總?cè)藬?shù)為______人;

(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)為了鼓勵(lì)學(xué)生讀書,學(xué)校決定在青年節(jié)舉行兩場(chǎng)讀書報(bào)告會(huì).報(bào)告會(huì)的內(nèi)容從科普書籍”“文學(xué)”“漫畫叢書”“其他中任選兩個(gè).用畫樹狀圖或列表的方法求兩場(chǎng)報(bào)告會(huì)的內(nèi)容恰好是科普書籍漫畫叢書的概率.(科普書籍”“文學(xué)”“漫畫叢書”“其他,可以分別用K,W,M,Q來表示)

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【題目】1)補(bǔ)充完整:

如圖1,在正方形ABCD中,EF分別為DC、BC邊上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°,連結(jié)EF,試說明DE+BF=EF

解:將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG,此時(shí)ABAD重合.由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD,GB=ED,∠1=2,∠ABG=D=90°

∴∠ABG+ABF=90°+90°=180°

∴點(diǎn)G、BF在同一條直線上.

∵∠EAF=45°,

∴∠2+3=BAD-EAF=90°-45°=45°

∵∠1=2,

∴∠1+3=45°

∴∠GAF=

又∵AG=AEAF=AF

∴△GAF

=EF

DE+BF=BG+BF=GF=EF

2)類比引申:

如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)EF分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時(shí),有EF=BE+DF

3)聯(lián)想拓展

如圖3,在ABC中,∠BAC=90°AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°,試猜想BDDE、EC滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過程.

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【題目】如圖所示,本市新建一座圓形人工湖,為測(cè)量該湖的半徑,小杰和小麗沿湖邊選取A,B,C三根木柱,使得A,B之間的距離與A,C之間的距離相等,并測(cè)得BC長為120米,ABC的距離為4米,請(qǐng)你幫他們求出該湖的半徑.

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