Question

【題目】拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，連接BC．

（1）如圖1，求直線BC的表達(dá)式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PC，PB，當(dāng)△PCB面積最大時，一動點(diǎn)Q從點(diǎn)P從出發(fā)，沿適當(dāng)路徑運(yùn)動到軸上的某個點(diǎn)G處，再沿適當(dāng)路徑運(yùn)動到軸上的某個點(diǎn)H處，最后到達(dá)線段BC的中點(diǎn)F處停止，求當(dāng)△PCB面積最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)及點(diǎn)Q在整個運(yùn)動過程中經(jīng)過的最短路徑的長；

（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)△PCB面積最大時，把拋物線向右平移使它的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，得到新拋物線，在新拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使△ECB的面積等于△PCB的面積．若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)Q按照要求經(jīng)過的最短路徑長為（3）存在，滿足條件的點(diǎn)E有三個，即（，），（，）, （，）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）先確定出，再利用三角形的面積公式得出，即可得出結(jié)論；

（3）先確定出平移后的拋物線解析式，進(jìn)而求出，在判斷出建立方程即可得出結(jié)論．

解：（1）令，得，∴，．

∴ A（，0），B（，0）．

令，得．

∴C(0,3)．

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，把B（，0）代入，得．

解得，．

所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）過P作PD⊥軸交直線BC于M．

∵ 直線BC表達(dá)式為 ，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，則點(diǎn)P 的坐標(biāo)為．

則．

∴．

∴此時，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．

根據(jù)題意，要求的線段PG+GH+HF的最小值，只需要把這三條線段“搬”在一直線上．如圖1，作點(diǎn)P關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)F關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)G,交軸于點(diǎn)H．根據(jù)軸對稱性可得，．

此時PG+GH+HF的最小值=．

∵ 點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

∵ 點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，

∴ 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）．

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

∵ 點(diǎn)，P兩點(diǎn)的橫坐相同，∴⊥軸．

∵ ，P兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴⊥軸．

∴ ．

∴．

即點(diǎn)Q按照要求經(jīng)過的最短路徑長為．

（3）如圖2，在拋物線中，

令，

，

或，

由平移知，拋物線向右平移到，則平移了個單位，，

設(shè)點(diǎn)，

過點(diǎn)作軸交于，

直線的解析式為，

，

的面積等于的面積，

，

由（2）知，，

，

，

或或或（舍，

，或，或，．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E有三個，即（，），（，）, （，）．