Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“大小不等的兩個正方形”為主題開展數(shù)學活動，如圖1，現(xiàn)有一個邊長為的正方形，點從對角線的點出發(fā)向點運動，連接并延長至點，使，以為邊在右側(cè)作正方形，邊與射線交于點.

操作發(fā)現(xiàn)

（1）點在運動過程中，判斷線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

實踐探究

（2）在點的運動過程中，某時刻正方形與正方形重疊的四邊形的面積是，求此時的長；

探究拓廣

（3）請借助備用圖2，探究當點不與點，重合時，線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）①當時，；②當時，且點與點重合；③當時，

【解析】

（1）首先由正方形的性質(zhì)得出，，，然后判定，進而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四邊形內(nèi)角和得出，進而得出，；

（2）首先過點作于點，作于點，得出，然后由對角線的性質(zhì)得出，，進而判定四邊形是正方形，即可判定，然后通過面積的等量代換得出CE，進而得出AE.

（3）根據(jù)題意，分三種情況討論即可：①當時，②當時，③當時.

（1）.

理由如下：如圖，連接.

∵是正方形的對角線，

∴，，.

在和中，

∴.

∴，.

∵四邊形是正方形，

∴.

在四邊形中，.

∵，

∴.

∴.

∴.

（2）如圖，過點作于點，作于點.

∴.

∵點是正方形的對角線上的點，

∴，.

∴四邊形是正方形.

在和中，

∴.

∴.

∴.

∵正方形與正方形重疊的面積是，

∴.解得.

∵正方形的邊長為6，

∴.

∴.

∴此時的長為.

（3）分三種情況：

①當時，；

②當時，且點與點重合；

③當時，.