【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),且AD=DC,過A,B,D三點(diǎn)作⊙O,AE是⊙O的直徑,連結(jié)DE.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若sinC= ,AC=6,求⊙O的直徑.

【答案】
(1)證明:∵AB=AC,AD=DC,

∴∠C=∠B,∠1=∠C,

∴∠1=∠B,

又∵∠E=∠B,

∴∠1=∠E,

∵AE是⊙O的直徑,

∴∠ADE=90°,

∴∠E+∠EAD=90°,

∴∠1+∠EAD=90°,即∠EAC=90°,

∴AE⊥AC,

∴AC是⊙O的切線


(2)解:過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,如圖,

∵DA=DC,

∴CF= AC=3,

在Rt△CDF中,∵sinC= = ,

設(shè)DF=4x,DC=5x,

∴CF= =3x,

∴3x=3,解得x=1,

∴DC=5,

∴AD=5,

∵∠ADE=∠DFC=90°,∠E=∠C,

∴△ADE∽△DFC,

= ,即 = ,解得AE=

即⊙O的直徑為


【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),由AB=AC,AD=DC得∠C=∠B,∠1=∠C,則∠1=∠B,根據(jù)圓周角定理得∠E=∠B,∠ADE=90°,所以∠1+∠EAD=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線;(2)過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,如圖,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CF= AC=3,在Rt△CDF中,利用正弦定義得sinC= = ,則設(shè)DF=4x,DC=5x,利用勾股定理得CF=3x,所以3x=3,解得x=1,于是得到DC=AD=5,然后證明△ADE∽△DFC,再利用相似比可計(jì)算AE即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①AE=DF;②∠BEF=60°;③∠DEB=∠DFB;④△DEF 的周長(zhǎng)的最小值是4+2

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(2)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣42之間,求|a+4|+|a﹣2|的值;

(3)當(dāng)a取何值時(shí),|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小,最小值是多少?請(qǐng)說明理由.

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