【題目】已知ABCD,點E為平面內(nèi)一點,BECEE,

(1)如圖1,請直接寫出∠ABE和∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,過點EEFCD,垂足為F,求證:∠CEF=ABE;

(3)如圖3,在(2)的條件下,作EG平分∠CEFDF于點G,作ED平分∠BEFCDD,連接BD,若∠DBE+ABD=180°,且∠BDE=3GEF,求∠BEG的度數(shù)。

【答案】1)∠DCE=90°+ABE;(2)見解析;(3)∠BEG=105°

【解析】

1)結(jié)論:∠DCE=90°+ABE.如圖1中,從BEDC的延長線于H.利用三角形的外角的性質(zhì)即可證明;

2)只要證明∠CEF與∠CEM互余,∠BEM與∠CEM互余,可得∠CEF=BEM即可解決問題;

3)如圖3中,設(shè)∠GEF=α,∠EDF=β.想辦法構(gòu)建方程求出α即可解決問題;

解:(1)結(jié)論:∠DCE=90°+ABE

理由:如圖1中,從BEDC的延長線于H

ABCH,

∴∠ABE=H,

BECE

∴∠CEH=90°,

∴∠DCE=H+CEH=90°+H,

∴∠DCE=90°+ABE

2)如圖2中,作EMCD,

EMCD,CDAB,

ABCDEM

∴∠BEM=ABE,∠F+FEM=180°,

EFCD,

∴∠F=90°,

∴∠FEM=90°

∴∠CEF與∠CEM互余,

BECE

∴∠BEC=90°,

∴∠BEM與∠CEM互余,

∴∠CEF=BEM,

∴∠CEF=ABE

3)如圖3中,設(shè)∠GEF=α,∠EDF=β

∴∠BDE=3GEF=3α,

EG平分∠CEF,

∴∠CEF=2FEG=2α,

∴∠ABE=CEF=2α,

ABCDEM,

∴∠MED=EDF=β,∠KBD=BDF=3α+β,∠ABD+BDF=180°,

∴∠BED=BEM+MED=2α+β

ED平分∠BEF,

∴∠BED=FED=2α+β,

∴∠DEC=β,

∵∠BEC=90°,

2α+2β=90°,

∵∠DBE+ABD=180°,∠ABD+BDF=180°,

∴∠DBE=BDF=BDE+EDF=3α+β

∵∠ABK=180°,

∴∠ABE+B=DBE+KBD=180°

2α+3α+β+3α+β=180°,

6α+2α+2β=180°

α=15°,

∴∠BEG=BEC+CEG=90°+15°=105°

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