【題目】如圖甲,有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點A與點E重合),已知AC8 cm,BC6 cm,∠C90°,EG4 cm,∠EGF90°,O是△EFG斜邊上的中點. 如圖乙,若整個△EFG從圖甲的位置出發(fā),以1 cm/s的速度沿射線AB方向平移,在△EFG平移的同時,點P從△EFG的頂點G出發(fā),以1 cm/s的速度在直角邊GF上向點F運動,當點P到達點F時,點P停止運動,△EFG也隨之停止平移. 設(shè)運動時間為x(s),FG的延長線交AC于H,四邊形OAHP的面積為y(cm2)(提示:不考慮點P與G、F重合的情況).
(1)當x為何值時,OP∥AC?
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍;
(3)是否存在某一時刻,使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為?若存在,求出x的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)當x為1.5 s時,OP∥AC;(2)+3 (0<x<3);(3)x1=
【解析】分析:(1)由于O是EF中點,因此當P為FG的中點時,OP∥EG∥AC,據(jù)此可求出x的值.
(2)由于四邊形AHPO形狀不規(guī)則,可根據(jù)S四邊形OAHP=S△AFHS△OFP, 中,AH的長可用AF的長和∠FAH的余弦值求出,同理可求出FH的表達式(也可用相似三角形來得出AH、FH的長).中,過點O作OD⊥FP,垂足為D.PF的長易知,而OD的長,可根據(jù)OF的長和∠FOD的余弦值得出.由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)先求出四邊形OAHP面積與△ABC,然后將其代入(2)的函數(shù)式中即可得出x的值.
詳解:(1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC,∴.
∴FG==3 cm.
∵當P為FG的中點時,OP∥EG,EG∥AC,
∴OP∥AC.
∴x=×3=1.5(s).
∴當x為1.5 s時,OP∥AC.
(2)在Rt△EFG中,由勾股定理得EF=5 cm.
∵EG∥AH,∴△EFG∽△AFH.
∴,即.
∴AH=(x+5),FH=(x+5).
過點O作OD⊥FP,垂足為D.
∵點O為EF中點,∴OD=EG=2 cm.
∵FP=,
∴S四邊形OAHP=S△AFHS△OFP AH·FH OD·FP
=× (x+5) × (x+5) ×2×(3x)
=+3 (0<x<3).
(3)假設(shè)存在某一時刻x,使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24,
則S四邊形OAHP ×S△ABC.
∴××6×8.
∴6x285x2500.
解得x1=,x2= (舍去).
當x=(s)時,四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13:24.
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【題目】圖①是一張∠AOB=45°的紙片折疊后的圖形,P、Q分別是邊OA、OB上的點,且OP=2 cm.將∠AOB沿PQ折疊,點O落在紙片所在平面內(nèi)的C處.
(1)①當PC∥QB時,OQ= cm;
②在OB上找一點Q,使PC⊥QB(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡);
(2)當折疊后重疊部分為等腰三角形時,求OQ的長.
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【題目】“美化城市,改善人民居住環(huán)境”是城市建設(shè)的一項重要內(nèi)容.北京市將重點圍繞城市副中心、大興國際機場、冬奧會、世園會、永定河、溫榆河、南中軸等重要節(jié)點區(qū)域綠化,到2022年,全市將真正形成一片集“萬畝城市森林、百萬喬灌樹木、百種鄉(xiāng)土植物、二十四節(jié)氣林窗、四季景觀大道”于一體的城市森林.2018年當年計劃新增造林23萬畝,2019年計劃新增造林面積大體相當于27.8個奧森公園的面積,預(yù)計2020年計劃新增造林面積達到38.87萬畝,求2018年至2020年計劃新增造林面積的年平均增長率.
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【題目】如圖,在數(shù)軸上,點為原點,點表示的數(shù)為,點表示的數(shù)為,且滿足
(1)A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為_____,______;
(2)若將數(shù)軸折疊,使得點與點重合,則原點與數(shù)______表示的點重合.
(3)若點A、B分別以4個單位/秒和2個單位/秒的速度相向而行,則幾秒后A、B兩點相距2個單位長度?
(4)若點A、B以(3)中的速度同時向右運動,點從原點以7個單位/秒的速度向右運動,設(shè)運動時間為秒,請問:在運動過程中,的值是否會發(fā)生變化?若變化,請用表示這個值;若不變,請求出這個定值.
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【題目】和有一條公共邊,且,是的平分線,是的平分線.
(1)畫出圖形;
(2)若,,求的大;
(3)通過對以上的解題回顧,你發(fā)現(xiàn)與、三個角之間有怎樣的大小關(guān)系?請把你的發(fā)現(xiàn)結(jié)論直接寫出來.
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【題目】如圖1,點在線段上,圖中共有三條線段,和,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍,則稱點是線段的“巧點”.
(1)線段的中點_________這條線段的“巧點”;(填“是”或“不是”);
(2)如圖2,已知.動點從點出發(fā),以的速度沿向點勻速運動;點從點出發(fā),以的速度沿向點勻速運動,點,同時出發(fā),當其中一點到達終點時,運動停止.設(shè)移動的時間為,當_________時,為的“巧點”.
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【題目】某種產(chǎn)品形狀是長方體,長為8cm,它的展開圖如圖:
(1)求該長方體的寬和高;
(2)請為廠家設(shè)計一種包裝紙箱,使每箱能裝2件這種產(chǎn)品,要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少(紙箱的表面積盡可能。,并求出該紙箱的體積。
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【題目】甲、乙、丙三位運動員在相同條件下各射靶10次,每次射靶的成績?nèi)缦拢?/span>
甲:9,10,8,5,7,8,10,8,8,7;
乙:5,7,8,7,8,9,7,9,10,10;
丙:7,6,8,5,4,7,6,3,9,5.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下表:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
甲 | 8 | 8 | |
乙 | 8 | 8 | 2.2 |
丙 | 6 | 3 |
(2)依據(jù)表中數(shù)據(jù)分析,哪位運動員的成績最穩(wěn)定,并簡要說明理由;
(3)比賽時三人依次出場,順序由抽簽方式?jīng)Q定.求甲、乙相鄰出場的概率.
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【題目】把下列各數(shù)按要求分類
+8.3,-4,-0.8,-,0,π,90,-|-24|,15%, 中,
負數(shù)有______________________________,
分數(shù)有______________________________.
整數(shù)有______________________________.
有理數(shù)有______________________________.
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