【題目】(10分)如圖,已知AB是⊙O的直徑,點P在BA的延長線上,PD切⊙O于點D,過點B作BE垂直于PD,交PD的延長線于點C,連接AD并延長,交BE于點E.
(1)求證:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半徑的長.
【答案】(1)見解析;(2)3
【解析】
試題(1)連接OD,由PD切⊙O于點D,得到OD⊥PD,由于BE⊥PC,得到OD∥BE,得出∠ADO=∠E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果;
(2)由(1)知,OD∥BE,得到∠POD=∠B,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵PD切⊙O于點D,
∴OD⊥PD,
∵BE⊥PC,
∴OD∥BE,
∴∠ADO=∠E,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∴∠OAD=∠E,
∴AB=BE;
(2)解:由(1)知,OD∥BE,
∴∠POD=∠B,
∴cos∠POD=cosB=,
在Rt△POD中,cos∠POD=,
∵OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,
∴,
∴OA=3,
∴⊙O半徑=3.
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【題目】已知直線,拋物線.
當,時,求直線與拋物線的交點坐標;
當,時,將直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與拋物線交于,兩點(點在點的左側(cè)),求,兩點的坐標;
若將中的條件“”去掉,其他條件不變,且,求的取值范圍.
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【題目】甲、乙兩人參加理化實驗操作測試,學校進行了6次模測試,成績?nèi)绫硭荆海▎挝唬悍郑?/span>
第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | 平均分 | 眾數(shù) | |
甲 | 7 | 9 | 9 | 9 | 10 | 10 | 9 | 9 |
乙 | 7 | 8 | 9 | 10 | 10 | 10 | a | b |
(1)根據(jù)圖表信息,求表格中a,b的值;
(2)已知甲的成績的方差等于1,請計算乙的成績的方差;
(3)從平均數(shù)和方差相結(jié)合看,分析誰的成績好些?
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【題目】閱讀材料:像(+)()=3,=a(a≥0),(+1)(﹣1)=b﹣1(b≥0),……,這種兩個含二次根式的代數(shù)式相乘,積不含二次根式,我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式例如:與,+1與﹣1,2+3與2﹣3等都是互為有理化因式,在進行二次根式計算時,利用有理化因式,可以化去分母中的根號.
例如:;;
解答下列問題:
(1)3﹣與 互為有理化因式,將分母有理化得 .
(2)計算:2﹣;
(3)觀察下面的變形規(guī)律并解決問題.
①=﹣1,=,=,…,若n為正整數(shù),請你猜想:= .
②計算:(+++…+)×(+1).
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【題目】如圖4,已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過點A(2,0),B(6,0),交y軸于點C,且S△ABC=16.
(1)求點C的坐標;
(2)求拋物線的解析式及其對稱軸;
(3)若正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上,點D,E分別在拋物線上),求S正方形DEFG.
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【題目】閱讀理解
在⊙I中,弦AF與DE相交于點Q,則AQQF=DQQE.你可以利用這一性質(zhì)解決問題.
問題解決
如圖,在平面直角坐標系中,等邊△ABC的邊BC在x軸上,高AO在y軸的正半軸上,點Q(0,1)是等邊△ABC的重心,過點Q的直線分別交邊AB、AC于點D、E,直線DE繞點Q轉(zhuǎn)動,設∠OQD=α(60°<α<120°),△ADE的外接圓⊙I交y軸正半軸于點F,連接EF.
(1)填空:AB= ;
(2)在直線DE繞點Q轉(zhuǎn)動的過程中,猜想:與的值是否相等?試說明理由.
(3)①求證:AQ2=ADAE﹣DQQE;
②記AD=a,AE=b,DQ=m,QE=m(a、b、m、n均為正數(shù)),請直接寫出mn的取值范圍.
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,AB=6,N為線段AB上的任意一點,∠BAC的平分線交BC于點D,M是AD上的動點, 連結(jié)BM、MN,則BM+MN的最小值是_______.
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【題目】在平面直角坐標系中,A(﹣4,0),點C是y軸正半軸上的一點,且∠ACB=90°,AC=BC
(1)如圖①,若點B在第四象限,C(0,2),求點B的坐標;
(2)如圖②,若點B在第二象限,以OC為直角邊在第一象限作等腰Rt△COF,連接BF,交y軸于點M,求CM的長.
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【題目】小亮和小剛進行賽跑訓練,他們選擇了一個土坡,按同一路線同時出發(fā),從坡腳跑到坡頂再原路返回坡腳.他們倆上坡的平均速度不同,下坡的平均速度則是各自上坡平均速度的1.5倍.設兩人出發(fā)xmin后距出發(fā)點的距離為y m.圖中折線表示小亮在整個訓練中y與x的函數(shù)關系,其中A點在x軸上,M點坐標為(2,0).
(1)A點所表示的實際意義是 ;= ;
(2)求出AB所在直線的函數(shù)關系式;
(3)如果小剛上坡平均速度是小亮上坡平均速度
的一半,那么兩人出發(fā)后多長時間第一次相遇?
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