【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)如果k是符合條件的最大整數(shù),且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0與方程x2﹣3x+k=0有一個相同的根,求此時m的值.
【答案】(1)k≤;(2)m的值為.
【解析】
(1)利用判別式的意義得到△=(-3)2-4k≥0,然后解不等式即可;‘
(2)利用(1)中的結(jié)論得到k的最大整數(shù)為2,解方程x2-3x+2=0解得x1=1,x2=2,把x=1和x=2分別代入一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0求出對應(yīng)的m,同時滿足m-1≠0.
(1)根據(jù)題意得△=(﹣3)2﹣4k≥0,
解得k≤;
(2)k的最大整數(shù)為2,
方程x2﹣3x+k=0變形為x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,
∵一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0與方程x2﹣3x+k=0有一個相同的根,
∴當x=1時,m﹣1+1+m﹣3=0,解得m=;
當x=2時,4(m﹣1)+2+m﹣3=0,解得m=1,
而m﹣1≠0,
∴m的值為.
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【題目】綜合與實踐:
問題情境:(1)如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上的一點,連接BD、BE,將∠DBE繞點B順針旋轉(zhuǎn)90°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線DA交于點F和點G.
①線段BE和BF的數(shù)量關(guān)系是 ;
②寫出線段DE、DF和BD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
操作探究:(2)在菱形ABCD中,∠ADC=60°,點E是菱形ABCD邊CD所在直線上的一點,連接BD、BE,將∠DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線DA交于點F和點G.
①如圖2,點E在線段DC上時,請?zhí)骄烤段DE、DF和BD之間的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并給出證明.
②如圖3,點E在線段CD的延長線上時,BE交射線DA于點M,若DE=DC=2a,直接寫出線段FM和AG的長度.
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【題目】如圖,已知銳角內(nèi)接于⊙O, 于點D,連結(jié)AO.
⑴若.
①求證:;
②當時,求面積的最大值;
⑵點E在線段OA上,,連接DE,設(shè),(m、n是正數(shù)),若,求證:
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【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC.點E為CD邊上一點,AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線.
(1)請你添加一個適當?shù)臈l件 ,使得四邊形ABCD是平行四邊形,并證明你的結(jié)論;
(2)作線段AB的垂直平分線交AB于點O,并以AB為直徑作⊙O(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(3)在(2)的條件下,⊙O交邊AD于點F,連接BF,交AE于點G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半徑.
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【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點,E,F(xiàn)分別是線段BM,CM的中點.
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;
(3)當四邊形MENF是正方形時,求AD:AB的值.
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【題目】如圖,兩建筑物的水平距離BC為18m,從A點測得D點的俯角為 30,測得C點的俯角為 60° ,求建筑物CD的高度(結(jié)果保留根號).
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【題目】某學(xué)生會倡導(dǎo)的“愛心捐款”活動結(jié)束后,學(xué)生會干部對捐款情況作了抽樣調(diào)查,并繪制了統(tǒng)計圖,圖中從左到右各長方形高度之比為3:4:5:8:2,又知此次調(diào)查中捐15元和20元的人數(shù)共39人.
(1)他們一共抽查了多少人?
(2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是多少?
(3)若該校共有2310名學(xué)生,請估算有多少人捐款數(shù)不少于20元?
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【題目】若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程=4的解為正數(shù),且使關(guān)于y,不等式組的解集為y<-2,則符合條件的所有整數(shù)a的和為______.
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【題目】我們把滿足某種條件的所有點組成的圖形,叫做符合這個條件的點的軌跡,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=12,動點P從點A開始沿射線AC方向以1個單位秒的速度向點C運動,動點Q從點C開始沿射線CB方向以2個單位/秒的速度向點運動,P、Q兩點分別從點A、C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,在整個運動過程中,線段PQ的中點M運動的軌跡長為__.
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