Question

【題目】問(wèn)題提出：如何將邊長(zhǎng)為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1x5或2×3的矩形（axb 的矩形指邊長(zhǎng)分別為a，b的矩形）？

問(wèn)題探究：我們先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始研究解決，再把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題．

探究一：

如圖①，當(dāng)n=5時(shí)，可將正方形分割為五個(gè)1×5的矩形．

如圖②，當(dāng)n=6時(shí)，可將正方形分割為六個(gè)2×3的矩形．

如圖③，當(dāng)n=7時(shí)，可將正方形分割為五個(gè)1×5的矩形和四個(gè)2×3的矩形

如圖④，當(dāng)n=8時(shí)，可將正方形分割為八個(gè)1×5的矩形和四個(gè)2×3的矩形

如圖⑤，當(dāng)n=9時(shí)，可將正方形分割為九個(gè)1×5的矩形和六個(gè)2×3的矩形

探究二：

當(dāng)n=10，11，12，13，14時(shí)，分別將正方形按下列方式分割：

所以，當(dāng)n=10，11，12，13，14時(shí)，均可將正方形分割為一個(gè)5×5的正方形、一個(gè)（n﹣5 ）×（ n﹣5 ）的正方形和兩個(gè)5×（n﹣5）的矩形．顯然，5×5的正方形和5×（n﹣5）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n﹣5）×（n﹣5）的正方形是邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形．

探究三：

當(dāng)n=15，16，17，18，19時(shí)，分別將正方形按下列方式分割：

請(qǐng)按照上面的方法，分別畫出邊長(zhǎng)為18，19的正方形分割示意圖．

所以，當(dāng)n=15，16，17，18，19時(shí)，均可將正方形分割為一個(gè)10×10的正方形、一個(gè)（n﹣10 ）×（n﹣10）的正方形和兩個(gè)10×（n﹣10）的矩形．顯然，10×10的正方形和10×（n﹣10）的矩形均可分割為1x5的矩形，而（n﹣10）×（n﹣10）的正方形又是邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形．

問(wèn)題解決：如何將邊長(zhǎng)為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？請(qǐng)按照上面的方法畫出分割示意圖，并加以說(shuō)明．

實(shí)際應(yīng)用：如何將邊長(zhǎng)為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法畫出分割示意圖即可）

Answer 1

【答案】探究三：答案見(jiàn)解析；問(wèn)題解決：答案見(jiàn)解析；實(shí)際應(yīng)用：答案見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始研究解決，再把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，由此把要解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題，即可解決問(wèn)題．

試題解析：探究三：邊長(zhǎng)為18，19的正方形分割示意圖，如圖所示：

問(wèn)題解決：若5≤n＜10時(shí)，如探究一．

若n≥10，設(shè)n=5a+b，其中a、b為正整數(shù)，5≤b＜10，則圖形如圖所示，均可將正方形分割為一個(gè)5a×5a的正方形、一個(gè)b×b的正方形和兩個(gè)5a×b的矩形．顯然，5a×5a的正方形和5a×b的矩形均可分割為1x5的矩形，而b×b的正方形又是邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形即可．

問(wèn)題解決：邊長(zhǎng)為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形，如圖所示：