Question

【題目】如圖，在中，，作的角平分線交于點，以為圓心，為半徑作圓．

（1）依據題意補充完整圖形；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）求證：與直線相切；

（3）在（2）的條件下，若與直線相切的切點為，與相交于點，連接，；其中，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據尺規(guī)作圖的規(guī)則作圖即可．

（2）根據角平分線證明邊和角，再根據切線長定理求證即可．

（3）先在（2）的前提下，根據三角形相似，求出圓的半徑，再根據△ODC∽△ABC求出AB即可．

（1）作圖如下：

（2）證明：過點O作OD⊥AC，垂足為D．

∵∠ABC=90°，

∴OB⊥AB，

∵AO平分∠BAC且OB⊥AB，OD⊥AC，

∴OB=OD，

∴⊙O與直線AC相切．

（2）由（1）可知，∠ODC=90°，

∵BF為直徑

∴∠BDF=90°，

∴∠ODC=∠BDF，

∴∠BDO=∠CDF，

∵OB=OD，

∴∠BDO=∠DBO，

∴CDF=∠DBO，且∠DCF=∠BCD，

∴△DCF∽△BCD，

∴，

∵，CF=2，

∴BC=6，

∴OB=OF=2，

∴OC=4，OD=2，

∵△ODC∽△ABC，

∴，OD=2，

∴．