已知,如圖,拋物線y=
12
x2+bx+3與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),且與y軸交于精英家教網(wǎng)點(diǎn)C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB=4.
(1)直接寫出點(diǎn)B,C的坐標(biāo)及b的值;
(2)過射線CB上一點(diǎn)N,作MN∥OC分別交拋物線、x軸于M、T兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t.
①當(dāng)0<t<4時(shí),求線段MN的最大值;
②以點(diǎn)N為圓心,NM為半徑作⊙N,當(dāng)點(diǎn)B恰好在⊙N上時(shí),求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)拋物線y=
1
2
x2+bx+3直接得出點(diǎn)C的坐標(biāo),由OB=4,得出B點(diǎn)坐標(biāo),代入解析式即可得出b的值,
(2)①首先求出直線CB的解析式,進(jìn)而得出MN=(-
3
4
t+3)-(
1
2
t2-
11
4
t+3)=-
1
2
(t-2)2+2,得出最值即可;
②根據(jù)當(dāng)0<t<4時(shí),由①得:MN=-
1
2
t2+2t,以及當(dāng)t>4時(shí),點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方,MN=
1
2
t2-2t分別求出t的值即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)點(diǎn)B(4,0),C(0,3),b=-
11
4
,

(2)①如圖所示,設(shè)過點(diǎn)B(4,0),C(0,3)的直線CB的解析式為:y=kx+m,(k≠0),
4k+m=0
m=3
,
解得:
k=-
3
4
m=3
,
∴直線CB的解析式為:y=-
3
4
x+3,
∵M(jìn)N∥OC,
∴依據(jù)題意得出:N(t,-
3
4
t+3),則M(t,
1
2
t2-
11
4
t+3),
∵當(dāng)0<t<4時(shí),點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方,
∴MN=(-
3
4
t+3)-(
1
2
t2-
11
4
t+3),
=-
1
2
t2+2t,
=-
1
2
(t-2)2+2,
∴當(dāng)t=2時(shí),MN有最大值2;

②依據(jù)題意得出:
當(dāng)MN=BN時(shí),點(diǎn)B恰好在⊙N上,
由于t=0,(點(diǎn)M,N重合),
t=4(點(diǎn)M,N和B重合)均不符合題意,故舍去,
a)當(dāng)0<t<4時(shí),如圖,由①得:MN=-
1
2
t2+2t,
又∵M(jìn)N∥OC.OC⊥OB,
∴MN⊥OB,垂足為T(t,0),
∴cos∠NBT=
TB
NB
=
OB
BC
=
4
5
,(I)
TB
NB
=
4
5

此時(shí)點(diǎn)N在點(diǎn)T的上方,點(diǎn)T在點(diǎn)B的左邊.
∴TB=4-t,
代入(I)式得:
NB=
5
4
(4-t),
5
4
(4-t)=-
1
2
t2+2t,
整理可得:2t2-13t+20=0,
解得:t1=4(不合題意舍去),
t2=
5
2
,精英家教網(wǎng)
故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(
5
2
,-
3
4
);
b)當(dāng)t>4時(shí),如圖所示,點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方,MN=
1
2
t2-2t,
此時(shí)點(diǎn)N在點(diǎn)T的下方,點(diǎn)T在點(diǎn)B的右邊,
∴TB=t-4,
代入(I)式,可得:NB=
5
4
(t-4),
5
4
(t-4)=
1
2
t2-2t,
整理可得:2t2-13t+20=0,
解得:t1=4(不合題意舍去),
t2=
5
2
(不合題意舍去).
綜上所述:符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
5
2
,-
3
4
).
點(diǎn)評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程的解法,根據(jù)已知得出
5
4
(4-t)=-
1
2
t2+2t或
5
4
(t-4)=
1
2
t2-2t是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3,精英家教網(wǎng)與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)求圖象經(jīng)過M、A兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使過P、M兩點(diǎn)的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點(diǎn)E、F和點(diǎn)B所組成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)A,直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A,矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí),求圓心P的坐標(biāo);
(3)若線段DO與AB交于點(diǎn)E,以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似,如果有可能,請求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧化縣質(zhì)檢)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1-
3
,0)和點(diǎn)B,將拋物線沿x軸向上翻折,頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′(1,3)處.
(1)求原拋物線的解析式;
(2)在原拋物線上,是否存在一點(diǎn),與它關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)也在該拋物線上?若存在,求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(3)學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽,九年級(5)班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感:過點(diǎn)P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn),將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉,設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽,“5”的拼音開頭字母為W,“W”圖案似大鵬展翅,寓意深遠(yuǎn);而且小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
(約等于0.618).請你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少?(參考數(shù)據(jù):
5
≈2.236
,
6
≈2.449
,結(jié)果精確到0.001)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M在拋物線上,且△ABC與△ABM的面積相等,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(4)若平行于x軸的動(dòng)直線l與線段AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出直線l的解析式;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA≠OB,OA=OC,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱.
(1)求p、q的值.
(2)在題中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)連接PA、AC.問:在直線PC上,是否存在這樣點(diǎn)E(不與點(diǎn)C重合),使得以P、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案