【題目】如圖,頂點坐標為(2,﹣1)的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點C(0,3),與x軸交于A、B兩點.
(1)求拋物線的表達式;
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC交于點D,連接AC、AD,求△ACD的面積;
(3)點E為直線BC上一動點,過點E作y軸的平行線EF,與拋物線交于點F.問是否存在點E,使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似?若存在,求點E的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y==x2-4x+3;
(2)AS△ACD=2;
(3)①∠DFE=90°時,E1(2+,1-); E2(2-,1+);②∠EDF=90°時,E3(1,2)、E4(4,-1).
【解析】
(1)已知拋物線的頂點,可先將拋物線的解析式設(shè)為頂點式,再將點C的坐標代入上面的解析式中,即可確定待定系數(shù)的值,由此得解.
(2)可先求出A、C、D三點坐標,求出△ACD的三邊長后,可判斷出該三角形的形狀,進而得到該三角形的面積.(也可將△ACD的面積視為梯形與兩個小直角三角形的面積差)
(3)由于直線EF與y軸平行,那么∠OCB=∠FED,若△OBC和△EFD相似,則△EFD中,∠EDF和∠EFD中必有一角是直角,可據(jù)此求出點F的橫坐標,再代入直線BC的解析式中,即可求出點E的坐標.
解:(1)依題意,設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x-2)2-1,代入C(O,3)后,得:
a(0-2)2-1=3,a=1
∴拋物線的解析式:y=(x-2)2-1=x2-4x+3.
(2)由(1)知,A(1,0)、B(3,0);
設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+3,代入點B的坐標后,得:
3k+3=0,k=-1
∴直線BC:y=-x+3;
由(1)知:拋物線的對稱軸:x=2,則 D(2,1);
∴AD==,AC==,CD==2,
即:AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD⊥CD;
∴S△ACD=ADCD=××2=2.
(3)由題意知:EF∥y軸,則∠FED=∠OCB,若△OCB與△FED相似,則有:
①∠DFE=90°,即 DF∥x軸;
將點D縱坐標代入拋物線的解析式中,得:
x2-4x+3=1,解得 x=2±;
當(dāng)x=2+時,y=-x+3=1-;
當(dāng)x=2-時,y=-x+3=1+;
∴E1(2+,1-)、E
②∠EDF=90°;
易知,直線AD:y=x-1,聯(lián)立拋物線的解析式有:
x2-4x+3=x-1,
x2-5x+4=0,
解得 x1=1、x2=4;
當(dāng)x=1時,y=-x+3=2;
當(dāng)x=4時,y=-x+3=-1;
∴E3(1,2)、E4(4,-1);
綜上,存在符合條件的點E,且坐標為:(2+,1-)、(2-,1+)、(1,2)或(4,-1).
“點睛”此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識;需要注意的是,已知兩個三角形相似時,若對應(yīng)邊不相同,那么得到的結(jié)果就不一定相同,所以一定要進行分類討論.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD邊長為4,點O在對角線DB上運動(不與點B,D重合),連接OA,作OP⊥OA,交直線BC于點P.
(1)判斷線段OA,OP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)當(dāng)OD=時,求CP的長.
(3)設(shè)線段DO,OP,PC,CD圍成的圖形面積為S1,△AOD的面積為S2,求S1﹣S2的最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的頂點A(1,1),B(3,1),規(guī)定把正方形ABCD“先沿x軸翻折,再向左平移1個單位”為一次變換,這樣連續(xù)經(jīng)過2019次變換后,正方形ABCD的頂點C的坐標為( 。
A. (﹣2018,3)B. (﹣2018,﹣3)
C. (﹣2016,3)D. (﹣2016,﹣3)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“學(xué)習(xí)雷鋒活動月”中,某校九(2)班全班同學(xué)都參加了“廣告清除、助老助殘、清理垃圾、義務(wù)植樹”四個志愿活動(每人只參加一個活動).為了了解情況,小明收集整理相關(guān)的數(shù)據(jù)后,繪制如圖所示,不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)求該班的人數(shù);
(2)請把折線統(tǒng)計圖補充完整;
(3)求扇形統(tǒng)計圖中,廣告清除部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分8分)
為了加強學(xué)生課外閱讀,開闊視野,某校開展了“書香校園,從我做起”的主題活動.學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生,對他們一周的課外閱讀時間進行調(diào)查,繪制出頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖的一部分如下:
請根據(jù)圖表信息回答下列問題:
(1)頻數(shù)分布表中的 , ;
(2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(3)學(xué)校將每周課外閱讀時間在小時以上的學(xué)生評為“閱讀之星”,請你估計該校名學(xué)生中評為“閱讀之星”的有多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC相交于點D,E,BD=CD,過點D作⊙O的切線交邊AC于點F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為2,CF=1,求的長(結(jié)果保留π).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,矩形ABCD,AB=2,BC=4,對角線AC,BD相交于點O,點P在對角線BD上,并且A,O,P組成以OP為腰的等腰三角形,那么OP的長等于___.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是正△ABC的外接圓,點D為圓上一點,連接AD,分別過點B和點C作AD延長線的垂線,垂足分別為點E和點F,連接BD、CD,已知EB=3,FC=2,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論:①∠CDF=60°;②△EDB∽△FDC;③BC=;④,其中正確的結(jié)論有( )個
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC是等腰三角形,O是底邊BC中點,腰AB與⊙O相切于點D
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)如圖2,連接CD,若tan∠BCD=,⊙O的半徑為,求BC的長.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com