【題目】如圖，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC=AB，∠CAB=30°．

（1）求證:AB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】解：（1）證明：如圖，連接OB，

∵BC=AB，∠CAB=30°，∴∠ACB=∠CAB=30°。

又∵OC=OB，∴∠CBO=∠ACB=30°。

∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°。

在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，∴∠ABO=90°，即AB⊥OB。

∴AB為圓O的切線。
（2）∵OB=2，∠BOD=60°，

∴的長(zhǎng)度=。

（1）連接OB，如圖所示，由BC=AB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，由∠CAB的度數(shù)得出

∠ACB的度數(shù)，再由OC=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，確定出∠CBO，由外角的性質(zhì)求出∠AOB的度數(shù)，在△AOB中，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABO為90°，可得出AB為圓O的切線。

（2）直接應(yīng)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（定義）如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接B交直線l于點(diǎn)P，連接AP，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”．

（運(yùn)用）如圖2，在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知A(2,)，B(-2,-)兩點(diǎn)．

（1）C(4,)，D(4,)，E(4,)三點(diǎn)中，點(diǎn)　　是點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=4的等角點(diǎn)；

（2）若直線l垂直于x軸，點(diǎn)P(m,n)是點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的等角點(diǎn)，其中m>2，∠APB=α，求證：；

（3）若點(diǎn)P是點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時(shí)，求b的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,以點(diǎn)B為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交AB、BC于點(diǎn)M、N分別以點(diǎn)M、N為圓心,以大于MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧兩弧相交于點(diǎn)P過(guò)點(diǎn)P作線段BD,交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,則下列結(jié)論①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正確的是（ ）

A. ①②③B. ① ② ④C. ①③④D. ②③④

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B1C1，將△A1B1C1向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到△A2B2C2．

（1）畫(huà)出△A1B1C1和△A2B2C2；

（2）△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、A2，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)；

（3）P（a，b）是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P1，P2，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直線y＝－x＋2 與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P的坐標(biāo)為（－2，0），⊙P與y軸相切于點(diǎn)O．若將⊙P沿x軸向右移動(dòng)，當(dāng)⊙P與該直線相交時(shí)，滿足橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2

（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求y＝－2x2＋5x－3函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

小明是這樣思考的：由y＝－2x2＋5x－3函數(shù)可知，a1＝－2，b1＝5，c1＝－3，根據(jù)a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出函數(shù)y＝－2x2＋5x－3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

（2）若函數(shù)y1＝x2＋ x－n與y2＝－x2－mx－2互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m＋n）2019的值；

（3）已知函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖像與軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試證明經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝ (x－2)(x＋3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司開(kāi)發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本價(jià)為6元/件，該產(chǎn)品在正式投放市場(chǎng)前通過(guò)代銷(xiāo)點(diǎn)進(jìn)行了為期一個(gè)月（30天）的試銷(xiāo)售，售價(jià)為8元/件，工作人員對(duì)銷(xiāo)售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，并將記錄情況繪成圖象，圖中的折線ODE表示日銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系，已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中時(shí)間每增加1天，日銷(xiāo)售量減少5件．

（1）第17天的日銷(xiāo)售量是　 　件，日銷(xiāo)售利潤(rùn)是　 　元．

（2）求試銷(xiāo)售期間日銷(xiāo)售利潤(rùn)的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上．

（1）請(qǐng)你確定燈泡所在的位置，并畫(huà)出小亮在燈光下形成的影子．

（2）如果小明的身高AB=1.6m，他的影子長(zhǎng)AC=1.4m，且他到路燈的距離AD=2.1m，求燈泡的高.

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