【題目】在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,O是BC邊上的點(diǎn)且⊙O與AB、AC都相切,切點(diǎn)分別為D、E.
(1)求⊙O的半徑;
(2)如果F為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與D、E),過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線分別與邊AB、AC相交于G、H,連接OG、OH,有兩個(gè)結(jié)論:①四邊形BCHG的周長(zhǎng)不變,②∠GOH的度數(shù)不變.已知這兩個(gè)結(jié)論只有一個(gè)正確,找出正確的結(jié)論并證明;
(3)探究:在(2)的條件下,設(shè)BG=x,CH=y,試問(wèn)y與x之間滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系,寫出你的探究過(guò)程并確定自變量x的取值范圍,并說(shuō)明當(dāng)x=y時(shí)F點(diǎn)的位置.
【答案】(1)2;(2)②的結(jié)論正確,證明詳見(jiàn)解析;(3)y=, 2≤x≤4,F為AO與圓的交點(diǎn)同時(shí)F是的中點(diǎn).
【解析】
(1)連接OD、OE、OA;構(gòu)造正方形和直角三角形,利用勾股定理和正方形的性質(zhì)解答;
(2)連接OF、OG、OH;根據(jù)切線長(zhǎng)定理和圓的半徑相等,構(gòu)造全等三角形,即△DOG≌△FOG,△FOH≌△EOH;得到相等的角∠DOG=∠FOG,∠FOH=∠EOH;進(jìn)而得到∠GOH==45°;
(3)當(dāng)x=y時(shí),有AG=AH,根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理,判定GH∥BC,根據(jù)切線性質(zhì),判斷F為AO與圓的交點(diǎn)同時(shí)F是的中點(diǎn).
(1)連接OD、OE、OA,
∵O是BC邊上的點(diǎn)且⊙O與AB、AC都相切,
∴OD⊥AB,AC⊥OE,
又∵∠BAC=90°,且OD=OE,
∴四邊形ADOE為正方形,
∴OE=AE,`
∴∠OAE=45°;
又∵∠C=45°,
∴OE=2,△OAC為等腰直角三角形,
AE=EC=AC=×4=2,即⊙O的半徑是2;
(2)②的結(jié)論正確;理由如下:
連接OF、OG、OH,
由題意,GD、GF以及HF、HE與圓相切,
所以GD=GF,HE=HF,∠DOG=∠FOG,∠FOH=∠HOE,
而∠DOE=90°,所以可以得到∠GOH==45°.
(3)BG=x,CH=y,
易得:GF=GD=x﹣2,FH=HE=y﹣2,AG=4﹣x,AE=4﹣y,
所以GH=x+x﹣4,
由∠A=90°,可得GH2=AG2+AH2,代入上述各數(shù)值,
化簡(jiǎn)可得y=,由AG≥0,AE≥0,可得x≤4,y≤4,所以2≤x≤4,
當(dāng)x=y時(shí),有AG=AH,由于AB=AC所以可得GH與BC平行,連接AO,
設(shè)AO交GH于F',有∠OFH=90°,
所以F'為切點(diǎn)F,即F為AO與圓的交點(diǎn)同時(shí)F是的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,為的中點(diǎn),以為直徑的分別交,于點(diǎn),兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).
(1)試判斷與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)若,,則的長(zhǎng)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC,∠B=90゜,AB=3,BC=6,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),動(dòng)點(diǎn)P沿BA以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿BC以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.連接PQ,將△QBP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△,設(shè)△與△ABC重合部分面積是S.
(1)求證:PQ∥AC;
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)求該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)已知A(-9,),B(1,),C(,)都在該函數(shù)的圖象上,則,,的大小關(guān)系為:.
(3)把該函數(shù)的圖象沿y軸向什么方向平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后,與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠A=40°,∠B=70°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE,則∠CDF= 度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖示為一座拱橋,當(dāng)水面寬AB為12m時(shí),橋洞頂部離水面的距離為2m.
(1)若圖中的拱形呈拋物線形狀,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為多少?
(2)若圖中的拱形呈圓弧形狀,當(dāng)水面下降1m后,水面寬又為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,關(guān)于x的方程x2+2x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)若x1,x2是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求的值;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)果你能得出什么結(jié)論?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=-2,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在(-3,0)和(-4,0)之間,其部分圖象如圖所示.則下列結(jié)論:①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at2+bt(t為實(shí)數(shù));⑤點(diǎn),,是該拋物線上的點(diǎn),則y1<y2<y3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A.4B.3C.2D.1
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【題目】如圖,射線MN表示一艘輪船的航行路線,從M到N的走向?yàn)槟掀珫|30°,在M的南偏東60°方向上有一點(diǎn)A,A處到M處為100海里.
(1)求點(diǎn)A到航線MN的距離;
(2)在航線MN上有一點(diǎn)B,且∠MAB=15°,若輪船的速度為50海里/時(shí),求輪船從M處到B處所用時(shí)間為多少小時(shí)?(結(jié)果保留根號(hào))
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