Question

【題目】已知拋物線：是由拋物線：平移得到的，并且的頂點(diǎn)為（1，－4）

（1）求的值；

（2）如圖1，拋物線C1與x軸正半軸交于點(diǎn)A，直線經(jīng)過點(diǎn)A，交拋物線C1于另一點(diǎn)B．請(qǐng)你在線段AB上取點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PQ∥y軸交拋物線C1于點(diǎn)Q，連接AQ．

①若AP＝AQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若PA＝PQ，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

（3）如圖2，△MNE的頂點(diǎn)M、N在拋物線C2上，點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊，兩條直線ME、NE與拋物線C2均有唯一公共點(diǎn)，ME、NE均與y軸不平行．若△MNE的面積為16，設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n，求m與n的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①P點(diǎn)坐標(biāo)為；②P點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣；（3）m﹣n＝4．

【解析】

（1）拋物線：是由拋物線：平移得到的，求出 ，

由拋物線的頂點(diǎn)為（1，－4），即可求出b、c的值；

（2）由直線經(jīng)過點(diǎn)A，求出b的值，從而求出直線和拋物線的解析式，設(shè)P（t，﹣t+4），根據(jù)PQ∥y軸，推出Q（t，t2﹣2t﹣3），分兩種情況：①當(dāng)AP＝AQ時(shí)，②當(dāng)AP＝PQ時(shí)，列出關(guān)于t的方程，即可求解；

（3）設(shè)經(jīng)過的直線解析式為y＝k（x﹣m）+m2，直線ME與的方程聯(lián)立得到方程組，由直線ME與有唯一公共點(diǎn)，得到k＝2m，直線ME的解析式為y＝2mx﹣m2，同理可求直線NE的解析式為y＝2nx﹣n2，求得E.過E作直線∥x軸，分別過M,N作的垂線，垂足為C，D，根據(jù)，列出關(guān)于m，n的方程，即可求解.

（1）∵拋物線：是由拋物線：平移得到的，

∴，

∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，－4）

∴，，

∴，

∴

（2）y＝（x﹣1）2﹣4與x軸正半軸的交點(diǎn)A（3，0），

∵直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A，

∴b＝4，

∴y＝﹣x+4，

﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4，

∴x＝3或x＝﹣，

∴B（﹣，），

設(shè)P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3，

∵PQ∥y軸，

∴Q（t，t2﹣2t﹣3），

①當(dāng)AP＝AQ時(shí)，

|4﹣t|＝|t2﹣2t﹣3|，

則有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3，

∴t＝，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為

②當(dāng)AP＝PQ時(shí)，

PQ＝t2+t+7，PA＝（3﹣t），

∴-t2+t+7＝（3﹣t），

∴t＝﹣；

∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣

（3）設(shè)經(jīng)過的直線解析式為y＝k（x﹣m）+m2，

，則有x2﹣kx+km﹣m2＝0，

∵直線ME與有唯一公共點(diǎn),

∴△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，

∴k＝2m，直線ME的解析式為y＝2mx﹣m2，

同理可求直線NE的解析式為y＝2nx﹣n2，

∴E，

如圖，過E作直線∥x軸，分別過M,N作的垂線，垂足為C，D，

∴ [（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝16，

∴（m﹣n）3＝64，

∴m﹣n＝4