Question

【題目】如圖，矩形中，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3），拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，與此同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.連接，設(shè)運(yùn)動時間為（秒）.

①當(dāng)為何值時，得面積最小？

②是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ；②

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求出b，c的值，求得拋物線的解析式；

（2）①過點(diǎn)Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分別為F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，將三角形的面積用含t的式子表示出來，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最值；②由于三角形直角的位置不確定，需分情況討論，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式用勾股定理求解即可．

解：（1）由題意知：A(0,3),C(4,0)，

∵拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，

∴，解得，，

∴拋物線的表達(dá)式為：．

(2)① ∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；

由，可得，∴D（2,3）．

過點(diǎn)Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分別為F、G，

∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，

∴△QFA∽△CBA．

∴，

∴．

同理：△CGP∽△CBA，

∴∴，∴，

當(dāng)時，△DPQ的面積最小.最小值為．

② 由圖像可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3)，AC=5,直線AC的解析式為：．

三角形直角的位置不確定，需分情況討論：

當(dāng)時，根據(jù)勾股定理可得出：

，

整理，解方程即可得解；

當(dāng)時，可知點(diǎn)G運(yùn)動到點(diǎn)B的位置，點(diǎn)P運(yùn)動到C的位置，所需時間為t=3；

當(dāng)時,同理用勾股定理得出：

；

整理求解可得t的值．

由此可得出t的值為：,,,,．