Question

【題目】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD.
（1）求證：四邊形ABEF是菱形.
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分線，

∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB=BE，

∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解：作OH⊥AD于H，如圖所示

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，

∴AB=AF=4，AP⊥BF，

∴∠ABF=∠AFB=30°，

∴AP= AB=2，

∴PH= ，AH=1，DH=AD-AH=5，

∴tan∠ADP= = .

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得∠BAE=∠AEB．證出AB=BE．同理AB=AF．得出AF=BE．證出四邊形ABEF是平行四邊形即可得出結(jié)論．（2）作OH⊥AD于H，由菱形的性質(zhì)得出AB=AF=4，∠ABC=60°，AO⊥BF，∠ABF=∠AFB=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AO= AB=2，求出OH、DH，即可得出結(jié)果。
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．