Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF． 解答下列問(wèn)題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為 _________ ，數(shù)量關(guān)系為 _________ ．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB⊥AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)． 試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C，F(xiàn)重合除外）畫出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若AC=4，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

解：（1）①CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC
又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD   ∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，CF⊥BD（如圖）
理由是：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，
∴AC=AG可證：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．
（3）當(dāng)具備∠BCA=45°時(shí) 過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC交BC于點(diǎn)Q，（如圖）
∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)，
∴此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上
∵∠BCA=45°，可求出AQ=QC=4．
設(shè)CD=x，
∴DQ=4+x
容易說(shuō)明△AQD∽△DCP，
∴，
∴
∴CP=+x，
∵0＜x≤3，
∴當(dāng)x=3時(shí)，CP有最大值5.25．