【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分別是邊AB,AC的中點,點P從點D出發(fā)沿DE方向運動,過點P作PQ⊥BC于Q,過點Q作QR∥BA交AC于R,當點Q與點C重合時,點P停止運動.設(shè)BQ=x,QR=y.
(1)求點D到BC的距離DH的長;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(3)是否存在點P,使△PQR為等腰三角形?若存在,請求出所有滿足要求的x的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)DH=;(2);(3)存在,x為或或6
【解析】
(1)根據(jù)三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DH的長;
(2)根據(jù)△RQC∽△ABC,根據(jù)三角形的相似比求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)畫出圖形,根據(jù)圖形進行討論: PQ=PR、 PQ=RQ、 PR=QR .
(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=90°,AB=6,AC=8,
∴BC==10.
∵∠DHB=∠A=90°,∠B=∠B.
∴△BHD∽△BAC,
∴=,
∴DH=AC=×8=
(2)∵QR∥AB,
∴∠QRC=∠A=90°.
∵∠C=∠C,
∴△RQC∽△ABC,
∴=,∴=,
即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為:y=x+6.
(3)存在,分三種情況:
①當PQ=PR時,過點P作PM⊥QR于M,則QM=RM.
∵∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,
∴∠1=∠C.
∴cos∠1=cosC==,
∴=,
∴=,
∴x=.
②當PQ=RQ時,
﹣x+6=,
∴x=6.
③作EM⊥BC,RN⊥EM,
∴EM∥PQ,
當PR=QR時,則R為PQ中垂線上的點,
∴EN=MN,
∴ER=RC,
∴點R為EC的中點,
∴CR=CE=AC=2.
∵tanC==,
∴=,
∴x=.
綜上所述,當x為或6或時,△PQR為等腰三角形.
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【題目】如圖,四邊形OABC是矩形,四邊形ADEF是正方形,點A、D在x軸的負半軸上,點C在y軸的正半軸上,點F在AB上,點B、E在反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象上,正方形ADEF的面積為4,且BF=2AF,則k值為_____.
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【題目】如圖,直線經(jīng)過點,與x軸交于點,直線與x軸相交于點B,與直線相交于點C.
(1)求直線的表達式;
(2)M的坐標為,當取最小時.
①求M點坐標;
②橫,縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.直接寫出線段AM、BM、BC、AC圍成區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)整點的坐標.
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【題目】如圖,⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓,這個正五邊形的邊長為a,半徑為R,邊心距為r,則下列關(guān)系式錯誤的是( )
A. R2﹣r2=a2 B. a=2Rsin36° C. a=2rtan36° D. r=Rcos36°
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【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,已知AD =8,折疊紙片使AB邊與對角線AC
重合,點B落在點F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長為( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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【題目】某商場計劃購進、兩種新型節(jié)能臺燈共盞,這兩種臺燈的進價、售價如表所示:
()若商場預計進貨款為元,則這兩種臺燈各購進多少盞?
()若商場規(guī)定型臺燈的進貨數(shù)量不超過型臺燈數(shù)量的倍,應怎樣進貨才能使商場在銷售完這批臺燈時獲利最多?此時利潤為多少元?
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【題目】某商場將進貨價為30元的書包以40元售出,平均每月能售出600個,調(diào)查表明:這種書包的售價每上漲1元,其銷售量就減少10個.
(1)為了使平均每月有10000元的銷售利潤,這種書包的售價應定為多少元?
(2)10000元的利潤是否為最大利潤?如果是,請說明理由;如果不是,請求出最大利潤,并指出此時書包的售價為多少元?
(3)請分析并回答售價在什么范圍內(nèi)商家就可以獲得利潤.
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【題目】在甲、乙兩個不透明的盒子中,分別裝有除顏色外其它均相同的小球,其中,甲盒子裝有2個白球,1個紅球:乙盒子裝有2個紅球,1個白球.
(1)將甲盒子搖勻后,隨機取出一個小球是紅球的概率是______;
(2)小華和小明商定:將兩個盒子搖勻后,各隨機摸出一個小球.若顏色相同,則小華獲勝;若顏色不同,則小明獲勝,請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明誰贏的可能性大.
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【題目】如圖,點A(-2,0), 點B(0,6),C為OB的中點,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′BC′.若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過A’B的中點D,則k的值為( )
A.12B.15C.D.
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