Question

【題目】如圖，點O是△ABC內一點，連接OB，OC，并將AB，OB，OC，AC的中點D，E，F，G依次連接得到四邊形DEFG．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）若OB⊥OC，∠EOM和∠OCB互余，OM＝3，求DG的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6

【解析】

（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥BC且EF＝BC，DG∥BC且DG＝BC，從而得到DG＝EF，DG∥EF，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可．

（2）想辦法證明OM＝MF＝ME即可解決問題．

（1）證明：∵D、G分別是AB、AC的中點，

∴DG∥BC，DG＝BC，

∵E、F分別是OB、OC的中點，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴DG＝EF，DG∥EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）∵OB⊥OC，

∴∠BOC＝90°，

∵∠EOM+∠COM＝90°，∠EOM+∠OCB＝90°，

∴∠COM＝∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠OFE＝∠OCB，

∴∠MOF＝∠MFO，

∴OM＝MF，

∵∠OEM+∠OFM＝90°，∠EOM+∠MOF＝90°，

∴∠EOM＝∠MEO，

∴OM＝EM，

∴EF＝2OM＝6．

由（1）有四邊形DEFG是平行四邊形，

∴DG＝EF＝6．