【題目】已知如圖,是的直徑,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)是外一點(diǎn),與相切于點(diǎn),連接,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求證:是的切線;
(3)若,,連接,求的長;
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)利用平行證出△BOD∽△BAC,然后列出比例式即可求出結(jié)論;
(2)連接OC,利用SAS證出△BOM≌△COM,從而證出∠OBM=∠OMB,然后根據(jù)切線的性質(zhì)即可證出結(jié)論;
(3)過點(diǎn)A作AE⊥PC于E,根據(jù)相似三角形的判定定理證出△DOC∽△DCM,列出比例式即可求出CD,根據(jù)勾股定理求出OC,從而求出AB,然后利用銳角三角函數(shù)求出PA、AE和CE,從而求出結(jié)論.
解:(1)∵,AB=2OB
∴△BOD∽△BAC
∴
∴;
(2)連接OC
∵
∴∠BOM=∠BAC
∵
∴∠BOC=2∠BAC=2∠BOM
∴∠BOM=∠COM
在△BOM和△COM中
∴△BOM≌△COM
∴∠OBM=∠OMB
∵與相切于點(diǎn),
∴∠OBM=90°,
∴∠OMB=90°
∴是的切線;
(3)過點(diǎn)A作AE⊥PC于E
∵AB為直徑
∴∠ACB=∠APB=90°
∵,
∴∠CDM=∠ACB =90°,∠ODC=90°
∵∠OCM=90°,
∴∠DOC+∠OCD=90°,∠DCM+∠OCD=90°
∴∠DOC=∠DCM
∴△DOC∽△DCM
∴
即
解得:CD=12
根據(jù)勾股定理可得OC=
∴AB=2OC=30
由(1)知AC=2OD=18
∵
∴△PAB為等腰直角三角形,
∴∠PAB=∠PBA=45°,
∴∠ACP=∠PBA=45°,PA=AB·sin∠PBA=
∴△ACE為等腰直角三角形
∴∠ECA=45°
∴CE=AE=AC·sin∠ECA=
根據(jù)勾股定理PE=
∴PC=PE+CE=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和城市周邊交通狀況的改善,旅游已成為人們的一種生活時(shí)尚,洪祥中學(xué)開展以“我最喜歡的風(fēng)景區(qū)”為主題的調(diào)查活動,圍繞“在松峰山、太陽島、二龍山和鳳凰山四個(gè)風(fēng)景區(qū)中,你最喜歡哪一個(gè)?(必選且只選一個(gè))”的問題,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若洪祥中學(xué)共有1350名學(xué)生,請你估計(jì)最喜歡太陽島風(fēng)景區(qū)的學(xué)生有多少名.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某足球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門,將足球從離地面0.5m的A處正對球門踢出(點(diǎn)A在y軸上),足球的飛行高度y(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=at2+5t+c,已知足球飛行0.8s時(shí),離地面的高度為3.5m.
(1)足球飛行的時(shí)間是多少時(shí),足球離地面最高?最大高度是多少?
(2)若足球飛行的水平距離x(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系x=10t,已知球門的高度為2.44m,如果該運(yùn)動員正對球門射門時(shí),離球門的水平距離為28m,他能否將球直接射入球門?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】快、慢兩車分別從相距360km的佳市、哈市兩地出發(fā),勻速行駛,先相向而行,慢車在快車出發(fā)1h后出發(fā),到達(dá)佳市后停止行駛,快車到達(dá)哈市后,立即按原路原速返回佳市(快車調(diào)頭的時(shí)間忽略不計(jì)),快、慢兩車距哈市的路程y1(單位:km),y2(單位:km)與快車出發(fā)時(shí)間x(單位:h)之間的函數(shù)圖象如圖所示,請結(jié)合圖象信息解答下列問題:
(1)直接寫出慢車的行駛速度和a的值;
(2)快車與慢車第一次相遇時(shí),距離佳市的路程是多少千米?
(3)快車出發(fā)多少小時(shí)后兩車相距為100km?請直接寫出答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于A(2,﹣1)、B(,n)兩點(diǎn).直線y=2與y軸交于點(diǎn)C.
1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
2)求△ABC的面積;
3)直接寫出不等式kx+b>在如圖所示范圍內(nèi)的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形的邊長為4,點(diǎn)是△的中心,.繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),分別交線段于兩點(diǎn),連接,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③四邊形的面積始終等于;④△周長的最小值為6,上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝公司試銷一種成本為每件50元的恤衫.試銷中發(fā)現(xiàn),當(dāng)銷售單價(jià)是60元時(shí),售出400件;銷售單價(jià)每降低1元,多售出10件.設(shè)試銷中銷售單價(jià)(元)時(shí)的銷售量為(件).
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)該公司獲得的總利潤為元,求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若要銷量不低于200件,且獲利至少5250元,則售價(jià)應(yīng)在何范圍內(nèi)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形紙片ABCD,AB=7,BC=4,在矩形邊上有一點(diǎn)P,且DP=3.將矩形紙片折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)P重合,折痕所在直線交矩形兩邊于點(diǎn)E、F,則EF=__________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一座山的一段斜坡BD的長度為600米,且這段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡從B到D時(shí),其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比).已知在地面B處測得山頂A的仰角為30°,在斜坡D處測得山頂A的仰角為45°.求山頂A到地面BC的高度AC是多少米?
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