【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上,等腰Rt△ADE的兩個頂點D、E和正方形頂點B三點在一條直線上.

(1)如圖1,連接OD,求證:△OAD≌△BAE;

(2)如圖2,連接CD,求證:BE﹣DE=CD;

(3)如圖3,當(dāng)圖1中的Rt△ADE的頂點D與點B重合時,點E正好落在x軸上,F(xiàn)為線段OC上一動點(不與O、C重合),G為線段AF的中點,若CG⊥GK交BE于點K時,請問∠KCG的大小是否變化?若不變,請求其值;若改變,求出變化的范圍.

【答案】(1)證明見解析(2)見解析(3)∠KCG的大小不變,

【解析】

(1)利用同角的余角相等可得∠BAD=EAF,由此得∠OAD=BAE,根據(jù)SAS證明OAD≌△BAE;(2)作輔助線構(gòu)建正方形ANDM和等腰直角三角形CFD,把所求CD轉(zhuǎn)化為CF,證CF=OM,由(1)中的全等可知∠ODA=BEA=45°,證明∠ODC=45°,推出CFCD的關(guān)系,利用直角三角形斜邊中線和正方形的性質(zhì)求出BE﹣DE的值為OM,得出結(jié)論;(3)作輔助線構(gòu)建正方形BMKN和全等三角形,首先利用全等證明CG=QG,由線段垂直平分線性質(zhì)得KC=KQ,證明RtCNKRtQMK,得∠CKN=QKM,可知∠CKQ=90°,得KCQ是等腰直角三角形,因此得出結(jié)論:∠KCG的大小不變,等于45°.

(1)如圖1,在正方形ABCO中,

∵∠BAF=∠DAE=90°,

∴∠BAD=∠EAF,

∴∠BAD+∠OAB=∠EAF+∠BAF,

即∠OAD=∠BAE,

∵AB=AO,AD=AE,

∴△OAD≌△BAE;

(2)如圖2,設(shè)CD與AB的交點為P,

過C作CF⊥OD于F,過A作AN⊥DE于N,AM⊥OD于M,

∵等腰Rt△ADE,AD=AE,

∴AN=DN=DE,

∴四邊形ANDM是正方形,

∴DN=DM,

∴BE﹣DE=OD﹣DM=OM,

由①△OAD≌△BAE得,∠ODA=∠BEA=45°,

∴∠ODE=90°,

∵∠OAB=∠ODB=90°,∠OPA=∠BPD,

∴△OAP∽△BDP,

,

,

∵∠CBD=90°+∠ABE,∠APD=90°+∠AOD,

∠ABE=∠AOD,

∴∠CBD=∠APD,

∴△CBD∽△APD,

∴∠CDB=∠ADO=45°,

∴∠ODC=90°﹣45°=45°,

∵sin45°=,

∴CF=,

∵△COF≌△OAM,

∴CF=OM,

∴BE﹣DE=CD;

(3)如圖3,∠KCG的大小不變,理由是:

過K作KM⊥AB于M,KN⊥BC,交CB的延長線于N,延長CG、BA交于Q,連接KQ,

∵∠N=∠MBN=∠BMK=90°,

∴四邊形BMKN是矩形,

∵AB=AE,∠BAE=90°,

∴∠ABE=45°,

∴BM=KM,

∴矩形BMKN是正方形,

∵OC∥AB,

∴∠OCG=∠GQA,

∵FG=AG,∠CGF=∠AGQ,

∴△FCG≌△AQG,

∴CG=QG,

∵CG⊥GK,

∴KC=KQ,

∵KN=KM,

∴Rt△CNK≌Rt△QMK,

∴∠CKN=∠QKM,

∴∠CKQ=∠CKM+∠MKQ=∠CKM+∠CKN=90°,

∴△KCQ是等腰直角三角形,

∴∠KCG=∠KQC=45°.

練習(xí)冊系列答案
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進(jìn)價(元/只)

售價(元/只)

甲種節(jié)能燈

30

40

甲種節(jié)能燈

35

50

(1)求幸福商場甲、乙兩種節(jié)能燈各購進(jìn)了多少只?

(2)全部售完100只節(jié)能燈后,商場共計獲利多少元?

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成績(分)

45

50

55

60

65

68

70

人數(shù)(人)

2

6

10

7

6

5

4

根據(jù)表中的信息判斷,下列結(jié)論中錯誤的是(

A. 該班一共有40名同學(xué)

B. 該班學(xué)生這次測試成績的眾數(shù)是55

C. 該班學(xué)生這次測試成績的中位數(shù)是60

D. 該班學(xué)生這次測試成績的平均數(shù)是59

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