【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(0,1)、D(-,0),作直線AD以線段AD為邊向上作正方形ABCD.

(1)填空:點B的坐標(biāo)為________,點C的坐標(biāo)為_________

(2)若正方形以每秒2個單位長度的速度沿射線DA向上平移,直至正方形的頂點C落在y軸上時停止運動.在運動過程中,設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為S,求S關(guān)于平移時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍.

【答案】(1)B的坐標(biāo)是(-1,1+),C的坐標(biāo)是(-1-,);(2)S=2t2,(0t);S=2-4x(<t2);S=4-(3-2x)2,(2<x2+).

【解析】

試題分析:(1)BMy軸于點M,作CNx軸于點N,證明ABM≌△DAO,CDN≌△DAO即可求得;

(2)首先證明ADO=30°,則DAO=60°,然后分只有點A在y軸右側(cè)時,當(dāng)B和D分別位于y軸的左右兩邊時,點C和點D分別位于y軸的兩側(cè)時三種情況進(jìn)行討論,利用三角函數(shù)即可求解.

試題解析:(1)作BMy軸于點M,作CNx軸于點N.

正方形ABCD中,BAD=90°

∴∠BAM+DAO=90°,

直角ABM中,BAM+MBA=90°,

∴∠MBA=DAO,

ABM和DAO中,

∴△ABM≌△DAO,

BM=AO=1,AM=OD=,

則B的坐標(biāo)是(-1,1+),

同理,CDN≌△DAO,

DN=AO=1,CN=OD=,

則C的坐標(biāo)是(-1-);

(2)OA=1,OD=,

tanADO=

∴∠ADO=30°,DAO=60°

當(dāng)只有點A在y軸右側(cè)時,如圖2,作AGy軸于點G.

在直角AEF中,AE=2t,AEF=30°,sinAEG=,即AG=AE sinAEG=2x =x,當(dāng)AG=1時,AE=

則AF=AE tanFEA=AE=2t,

則S=AE AF=×2t×2t=2t2,(0t);

當(dāng)B和D分別位于y軸的左右兩邊時,如圖3,作AGy軸于點G,作BHy軸,交AD于點H.

在直角ABH中,ABH=30°,則AH=

則S=SABH+S平行四邊形BHEF=AB AH+BH AG-1)=×2×-x-1),

即S=2-4x(<t2);

當(dāng)點C和點D分別位于y軸的兩側(cè)時,如圖4.

ED=2x-2,

在直角EDG中,EG==4x-4,則FG=2-(4x-4)=6-4x,

在直角CFG中,CF=FG sinAGF=(6-4x)=3-2x,

CG=CF=(3-2x),

則SCFG=CF CG=(3-2x)2,

則S=4-SCFG=4-(3-2x)2,(2<x2+).

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