【題目】已知,如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,四邊形OABC是長方形,點A、C、D的坐標(biāo)分別為A(9,0)、C(0,4),D(5,0),點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿O[Math Processing Error] C[Math Processing Error] B[Math Processing Error] A運動,點P的運動時間為t秒.
(1)當(dāng)t=5時, P點坐標(biāo)為____________;
(2)當(dāng)t>4時,OP+PD有最小值嗎?如果有,請算出該最小值,如果沒有,請說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時,△ODP是腰長為5的等腰三角形?(直接寫出t的值).
【答案】(1)點P的坐標(biāo)為(1,4);(2)有最小值,最小值為;(3)t=7或12或14.
【解析】試題分析:
(1)由題意可知,OC=4,故當(dāng)t=5時,點P在BC上,且PC=5-4=1,由此即可得此時點P的坐標(biāo);
(2)如圖1,由題意可知,需分兩種情況討論,①當(dāng)點P在BC上運動時,作點O關(guān)于BC的對稱點O1,連接DO1,交BC于點P1,此時OP+PD最短,最短值等于DO1;②當(dāng)點P在AB上運動時,當(dāng)P與A重合時,OP+PD最短,此時最短值等于AO+AD;分上述兩種情況計算,并比較兩種情況計算結(jié)果的大小,即可得到所求值;
(3)如圖2,由題意,需分OD是底邊和腰兩種情況討論,①當(dāng)OD是底邊時,點P是OD的垂直平分線與BC的交點P1;②當(dāng)OD是腰時,以D為圓心,DO為半徑作圓,所作圓與BC、AB的交點即為所求P點,由圖可知此時,點P有三個位置,分別在圖中的P2、P3、P4處;根據(jù)四個點P的位置結(jié)合已知條件即可求出對應(yīng)的t的值,并檢驗此時等腰△ODP的腰長是否為5即可得到答案.
試題解析:
(1)∵點C的坐標(biāo)為:(0,4),
∴OC=4,
∵當(dāng)t=5時,OC+CP1=5,
∴CP1=1,
∴此時點P的坐標(biāo)為:P(1,4);
(2)如圖1,當(dāng)t>5時,點P在線段BC上或AB上,此時OP+PD有最小值,現(xiàn)分兩種情況討論如下:
①當(dāng)點P在BC上時,
作點O關(guān)于BC為對稱軸的對稱點O′,此時O′(0,8),
連結(jié)O′D交BC于P,則OP+PD=O′D=;
②當(dāng)點P在AB上時,由圖可知當(dāng)點P與點A重合時,OP+PD最小,此時OP+OD=OA+DA=13;
綜合①②,∵,
∴ OP+PD的最小值是;
(3)如圖2,由題意分OD是底邊和腰兩種情況討論如下:
①當(dāng)OD是底邊時,點P是OD的垂直平分線與BC的交點P1,此時CP1=OD=2.5,
又∵OC=4,
∴對應(yīng)的t1=(OC+CP1)÷1=6.5,
∵此時△ODP的腰長=,
∴此種情況不符合要求;
②當(dāng)OD是腰時,以D為圓心,DO為半徑作圓,所作圓與BC、AB的交點P2、P3、P4為所求P點,過點P3作P3E⊥OA于點E,
由題意可知:OP2=OD=5=DP3=DP4,
∴由勾股定理可得:在Rt△OCP2中,CP2=;在Rt△DP3E中,DE=;在Rt△DP4A中,AP4=;
∴t2=(OC+CP2)÷1=7;t3=(OC+CP3)÷1=12;t4=(OC+BC+AB-AP4)÷1=14;
綜上所述,當(dāng)t的值分別為:t=7或t=12或t=14時,△ODP是腰長為5的等腰三角形.
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【題目】已知函數(shù)y=的圖象如圖所示,則以下結(jié)論:①m<0;②在每個分支上y隨x的增大而增大;③若點A(-1,a),點B(2,b)在圖象上,則a <b;④若點P(x,y)在圖象上,則點P1(-x,y)也在圖象上.其中正確的個數(shù)為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點O,過O點作EF∥BC,交AB于E,交AC于F.
(1)判斷△BEO的形狀,并說明理由.
(2)若AB=5cm,AC=4cm,求△AEF的周長.
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【題目】如圖,AD是△ABC的中線,E,F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點,且DE=DF,連結(jié)BF,CE.下列說法:
①△ABD和△ACD面積相等;
②∠BAD=∠CAD;
③△BDF≌△CDE;
④BF∥CE;
⑤CE=AE.
其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】已知正方形①、②在直線上,正方形③如圖放置,若正方形①、②的面積分別為81 cm2和144 cm2,則正方形③的邊長為( 。
A. 225 cm B. 63 cm C. 50 cm D. 15 cm
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【題目】向陽中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程(m+1)+(m﹣2)x﹣1=0提出了下列問題:
(1)是否存在m的值,使方程為一元二次方程?若存在,求出m的值,并解此方程;
(2)是否存在m的值,使方程為一元一次方程?若存在,求出m的值,并解此方程.
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【題目】李明準(zhǔn)備進行如下操作試驗,把一根長40 cm的鐵絲剪成兩段,并把每段首尾相連各圍成一個正方形.
(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲?
(2)李明認(rèn)為這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2,你認(rèn)為他的說法正確嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,點C是線段AB上一點,△ACD和△BCE都是等邊三角形,連結(jié)AE,BD,設(shè)AE交CD于點F.
(1)求證:△ACE≌△DCB;
(2)求證:△ADF∽△BAD.
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