Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與x軸相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)B（0，4）．

（1）求經(jīng)過(guò)B，C，D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，證明：直線CE與⊙A相切；
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)F，使△BDF面積最大，最大值是多少？并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，

把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得： ，

解得 ．

∴經(jīng)過(guò)B，C，D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y= x2+ x+4

（2）

解：∵y= x2+ x+4= （x+5）2﹣ ，

∴E（﹣5，﹣ ），

設(shè)直線CE的函數(shù)解析式為y=mx+n，

直線CE與y軸交于點(diǎn)G，則 ，

解得： ，

∴y= x+ ，

在y= x+ 中，令x=0，y= ，

∴G（0， ），

如圖1，連接AB，AC，AG，

則BG=OB﹣OG=4﹣ = ，

CG= = = ，

∴BG=CG，AB=AC，

在△ABG與△ACG中，

，

∴△ABG≌△ACG，

∴∠ACG=∠ABG，

∵⊙A與y軸相切于點(diǎn)B（0，4），

∴∠ABG=90°，

∴∠ACG=∠ABG=90°

∵點(diǎn)C在⊙A上，

∴直線CE與⊙A相切

（3）

解：存在點(diǎn)F，使△BDF面積最大，

如圖2連接BD，BF，DF，設(shè)F（t， t2+ t+4），

過(guò)F作FN∥y軸交BD于點(diǎn)N，

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+d，則 ，

解得 ．

∴直線BD的解析式為y= x+4，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t， t+4），

∴FN= t+4﹣（ t2+ t+4）=﹣ t2﹣2t，

∴S△DBF=S△DNF+S△BNF= ODFN= （﹣ t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，

∴當(dāng)t=﹣4時(shí)，S△BDF最大，最大值是16，

當(dāng)t=﹣4時(shí)， t2+ t+4=﹣2，

∴F（﹣4，﹣2）．

【解析】（1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函數(shù)的解析式即可得到結(jié)果；（2）由y= x2+ x+4= （x+5）2﹣ ，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)E（﹣5，﹣ ），求得直線CE的函數(shù)解析式y(tǒng)= x+ ，在y= x+ 中，令x=0，y= ，得到G（0， ），如圖1，連接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4﹣ = ，CG= ，得到BG=CG，AB=AC，證得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A與y軸相切于點(diǎn)B（0，4），于是得到∠ABG=90°，即可求得結(jié)論；（3）如圖2，連接BD，BF，DF，設(shè)F（t， t2+ t+4），過(guò)F作FN∥y軸交BD于點(diǎn)N，求得直線BD的解析式為y= x+4，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t， t+4），于是得到FN= t+4﹣（ t2+ t+4）=﹣ t2﹣2t，推出S△DBF=S△DNF+S△BNF= ODFN= （﹣ t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．