【題目】已知∠MON = 50°OE 平分∠MON,點A、B、C分別是射線OMOE、ON上的動點(A、B、C不與點O重合),連接AC交射線OE于點D、設(shè)∠OAC = x°.


1)如圖①,若AB//ON,

①則∠ABO 的度數(shù)是________;

②當∠BAD =ABD 時,x=_______;當∠BAD = BDA 時,x=________

2)如圖②,若ABOE,則是否存在這樣的x值,使得 ABD 中有一個角是另一個角的兩倍.存在,直接寫出x的值;不存在,說明理由.

【答案】1)①25°,②105,52.5;(2)存在,x的值為20,110,5125,35,95

【解析】

1)利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABO的度數(shù)是關(guān)鍵,利用三角形的內(nèi)角和定理及其推論計算求解即可.

2)按點D在線段OB上或OB的延長線上分兩大類,再根據(jù)△ABD 中有一個角是另一個角的兩倍的三種可能性再分類,利用三角形的內(nèi)角和及其推論分別求解計算即可.

解:(1)①∵∠MON=50°,OE平分∠MON∴∠AOB=BON=25°
ABON∴∠ABO=25°

②當∠BAD=ABD,則∠BAD=25°

∵∠AOB+ABO+OAB=180°

∴∠AOB+ABO+OAC+BAD=180°

∴∠OAC=180°-AOB-ABO-BAD =180°-25°-25°-25°=105°

當∠BAD=BDA,∵∠ABO=25°

∴∠BAD=77.5°

∵∠AOB+ABO+OAB=180°

∴∠OAB=180°-ABO-AOB=180°-25°-25°=130°

∴∠OAC=OAB-BAD=130°-77.5°=52.5°

故答案為:①25°;10552.5;

2)存在,推導(dǎo)如下

當點D在線段OB上時,如圖③所示:

圖③

i)當∠ABD=2DAB=90°時,則∠ADB=DAB=45°,

∵∠AOD+OAC=ADB,

∴∠OAC=ADB-AOD=45°-25°=20°,

ii)當∠ADB=2DAB時,∵∠ABD=90°,∴∠ADB=60°,

∵∠AOD+OAC=ADB

∴∠OAC=ADB-AOD=60°-25°=35°,

iii) 當∠DAB=2ADB, ∵∠ABD=90°,∴∠ADB=30°

∵∠AOD+OAC=ADB,

∴∠OAC=ADB-AOD=30°-25°=5°.

當點D在線段OB延長線上時,如圖③所示:

圖③

i)當∠ABD=2DAB=90°時,則∠ADB=DAB=45°,

∵∠AOD+OAC+ADB=180°,

∴∠OAC=180°-AOD-ADB=180°-25°-45°=110°;

ii)當∠ADB=2DAB時,∵∠ABD=90°,∴∠ADB=60°

∵∠AOD+OAC+ADB=180°,

∴∠OAC=180°-AOD-ADB=180°-25°-60°=95°;

iii) 當∠DAB=2ADB, ∵∠ABD=90°,∴∠ADB=30°,

∵∠AOD+OAC+ADB=180°,

∴∠OAC=180°-AOD-ADB=180°-25°-30°=125°

綜上所述,存在這樣的∠OAC,使得 △ABD 中有一個角是另一個角的兩倍,其值x

20,110,5125,3595

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